где
s
H
— производная Хилла тензора напряжений Коши;
C
E
— тензор
коэффициентов жесткости для изотропного тела; знак “ : ” означает
двойную сумму по повторяющимся индексам тензоров в индексной
форме записи данного выражения.
В отличие от определяющего соотношения для термоупругого тела
(6), в котором тензор напряжений непосредственно связан с тензором
деформаций, в (9) задана связь производных соответствующих тензо-
ров.
3. Пластическая составляющая тензора скоростей деформаций
определяется по ассоциативномузаконупластического течения:
V
p
= ˜
η
∂f
y
∂
s
= ˜
λ
s
,
где
˜
λ
— некоторая неизвестная функция, имеющая смысл множителя
Лагранжа;
∂f
y
∂
s
— вектор в пространстве компонент девиатора тензора
напряжений, направленный по нормали к поверхности текучести;
f
y
—
функция текучести.
Считаем, что материал лайнера обладает изотропным упрочнени-
ем. Поэтому функция текучести выбрана в виде [14]
f
y
(s
, η
) = 3
J
2
(s )
−
s
2
y
(¯
ε
p
)
,
где
J
2
(s ) = 0
,
5
s
ij
s
ij
— второй инвариант девиатора тензора напряже-
ний
s
ij
=
s
ij
−
1
3
s
kk
δ
ij
;
¯
ε
p
— параметр упрочнения, характеризую-
щий величинунакопленных пластических деформаций;
s
y
— предел
текучести материала.
На текущем этапе данная модель не включает в себя эффекты,
связанные с изменением температуры.
Численная модель.
Для решения задачи использован метод конеч-
ных элементов с элементами первого порядка. Предварительно прове-
дена триангуляция области. Расчеты проведены с сетками, построен-
ными с помощью программы Gridder2D, позволяющей сгущать сетку
в заданных подобластях (подробные сведения о данном программном
комплексе изложены в [15]). В начальный момент времени сетка в
лайнере состоит из правильных треугольников; размеры ячеек сетки в
лайнере и в диэлектрике различаются в десятки раз.
Выбран способ перестройки сетки, который можно представить в
виде следующего алгоритма:
1) на каждом шаге по времени сетка лайнера сдвигается в соответ-
ствии с рассчитанными перемещениями;
2) с помощью программы Gridder2D в диэлектрике строится новая
сетка (при этом используются данные о новом контуре лайнера);
72
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
