где
φ
= (jE) +
η
2
∂ν
x
∂x
2
+
∂ν
x
∂y
+
∂ν
y
∂x
2
+ 2
∂ν
y
∂y
2
— мощность выделения энергии, включающая в себя джоулеву теплоту
и источник теплоты за счет работы сил вязкости.
Математическая модель упругопластического лайнера.
Уравне-
ния движения лайнера в приближении упругопластического материала
имеют следующий вид [11, 14]:
ρ
∂
2
u
i
∂t
2
=
∂
∂
˜
a
k
S
ik
+
S
kj
∂u
i
∂
˜
a
j
+
F
i
.
(8)
В отличие от (5) уравнения (8) записаны с использованием текущей
лагранжевой системы координат (
˜
a
i
— текущие лагранжевы координа-
ты). В [14] такой подход назван UL (updated Lagrangian) подходом.
Так как в каждый фиксированный момент времени UL-координаты
˜
a
i
совпадают с эйлеровыми координатами
x
i
, разница междуUL- и
эйлеровым подходами проявляется в использовании разных определе-
ний скорости: при UL-подходе рассматриваются материальные, а при
эйлеровом — локальные производные.
В уравнении (8)
S
ij
— второй тензор напряжений Пиолы–Кирхгоффа
(тензор условных напряжений). Он связан с тензором истинных на-
пряжений Коши
s
ij
и с тензором напряжений Лагранжа
L
ij
, исполь-
зованным в (5), следующими выражениями:
s
ij
=
1
J
∂x
i
∂
˜
a
k
S
kl
∂x
j
∂
˜
a
l
;
L
ij
=
∂x
i
∂
˜
a
k
S
kj
=
S
ij
+
∂u
i
∂
˜
a
k
S
kj
,
где
J
=
∂x
i
∂
˜
a
j
— якобиан соответствующего преобразования координат.
Выбранная модель больших упругопластических деформаций
основана на следующих предположениях [11, 14].
1. Тензор скоростей деформаций
V
с компонентами
V
ij
=
1
2
∂υ
i
∂x
j
+
+
∂υ
j
∂x
i
можно представить суммой упругой
V
e
и пластической
V
p
составляющих:
V = V
e
+ V
p
.
2. Определяющее соотношение для упругопластического тела име-
ет вид
s
H
=
C
E
:
V
e
=
C
E
: (V
−
V
p
)
,
(9)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
71
