при
μ
=
bi
ρ
r
=
1
r
3
(
σ
2
−
1)
±
[
n
(
n
+ 1) +
b
2
−
bi
]
√
σ
2
−
1
u
μ
n
u
μ
−
1
n
−
−
[
n
(
n
+ 1) +
b
2
+
bi
]
√
σ
2
−
1
u
μ
n
u
μ
−
1
n
+ 2
biσu
μ
n
u
μ
n
.
(23)
В выражениях (22) и (23) верхний знак относится к
σ >
1
, нижний
к
σ <
1
. Исследуем выражения для
ρ
r
. Так как
n
— целое, то удобно
для функций Лежандра воспользоваться их представлениями через об-
рывающийся гипергеометрический ряд [7]. В дальнейших выкладках
приходится возводить отрицательные числа в степень, что, как из-
вестно, приводит к многозначности, характеризуемой целым числом
k
оборотов
2
π
в показателе мнимой экспоненты. При этом оказывается,
что если для
u
μ
n
и
u
μ
n
брать функции одного рода (первого или второ-
го) и одинаковые
k
, то всег да
ρ
r
≡
0
. Однако при выводе уравнения
непрерывности нигде не использовалось то обстоятельство, что
Ψ
и
¯Ψ
(соответственно
f
и
¯
f
,
u
и
¯
u
) — комплексно-сопряженные функ-
ции одного и того же решения. Оказывается, что вывод уравнения не
меняется (и остается справедливым результат), если взять какое-либо
решение
Ψ
1
уравнения (4), а в качестве
¯Ψ
брать функцию, комплексно-
сопряженную к другому решению
Ψ
2
. Эти решения могут отличаться,
во-первых, числами
k
и, во-вторых, первым или вторым родом функ-
ций Лежандра.
Вообще говоря, при произвольных значениях спина и соответ-
ственно верхнего индекса функции Лежандра величина
ρ
r
(и соответ-
ственно
ρ
) будет комплексной. Наложим на нее условие вещественно-
сти (или мнимости), что равносильно, в связи с тем, что уравнение
непрерывности и вместе с ним величину
ρ
можно умножать на
±
i
. По
существу, это эквивалентно условию, чтобы сохраняющаяся величина
была одна (а не две, как в комплексном случае). Оказывается, что это
условие приводит к квантованию верхнего индекса функции Лежандра
(и спина), который входит в показатель мнимой экспоненты.
Конкретные выражения для функции Лежандра брались через об-
рывающийся гипергеометрический ряд [7]. С использованием выра-
жений (22) и (23) был исследован ряд вариантов для
ρ
r
, соответству-
ющих: 1) разным значениям
n
; 2) функциям Лежандра разного ро-
да; 3) вещественному или мнимому верхнему индексу функции Ле-
жандра
μ
; 4) разным диапазонам
σ
(
σ >
1
и
σ <
1
).
Всего было исследовано 26 вариантов (с учетом подвариантов их
число равно 53). Структура выражений для
ρ
во всех вариантах пока-
зывает, что дальнейшее исследование при б´oльших
n
не даст новых
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
31
