Таким образом, решение исходного уравнения (4) может быть за-
писано в виде
Ψ(
t, r, θ, ϕ
) =
Y
nm
(
θ, ϕ
)
u
μ
n
(
σ
)
r
2
±
(
σ
2
−
1)
,
(14)
где
u
μ
n
— присоединенная функция Лежандра первого (
P
μ
n
) или второго
(
Q
μ
n
) рода. Мы употребляем здесь обозначение
u
μ
n
, имея в виду функ-
цию любого рода. Индексы функции Лежандра: нижний
n
= 0
,
1
,
2
, . . .
,
верхний
μ
=
± √
λ
+ 1
.
8. Свяжем величину
λ
, определяющую спиновый момент импульса,
со спиновым квантовым числом
s
соотношением
λ
=
±
L
s
2
=
±
s
(
s
+ 1)
.
(15)
В следующей работе, посвященной исследованию спина, будет пока-
зано, что именно при таком соотношении между
λ
и
s
число
s
опреде-
ляет спиновую проекцию. Подставляя (15) в выражение для верхнего
индекса функции Лежандра, получаем
μ
=
±
1
±
s
(
s
+ 1)
.
(16)
Верхний индекс функции Лежандра
μ
, вообще говоря, может быть
комплексным
μ
=
a
+
bi
. Будем искать его значения, при которых
s
вещественно. В этом случае оказывается, что
μ
может быть только
вещественным или мнимым, т.е. либо
μ
=
a
, либо
μ
=
bi
. Выразим из
формулы (16)
a
и
b
через спиновое квантовое число:
a
=
±
1
±
s
(
s
+ 1);
(17)
b
=
± −
1 +
s
(
s
+ 1)
.
(18)
Знак минус перед вторым слагаемым под корнем в формуле (18) сле-
дует отбросить, так как при этом
b
становится мнимым. Из формулы
(17) следует, что при
s
=
√
5
−
1
2
= 0
,
618
величина
a
обращается
в нуль. Интересно отметить, что число
√
5
−
1
2
совпадает с обрат-
ной величиной знаменитого золотого сечения или, что то же самое,
с пределом последовательности отношений двух соседних чисел Фи-
боначчи. В диапазоне
0
≤
s
≤
√
5
−
1
2
функция
a
(
s
)
двузначна, при
s >
√
5
−
1
2
— однозначна. При больших
s
функции
a
(
s
)
и
b
(
s
)
име-
ют асимптоты
±
s
+
1
2
. Графики функций
a
(
s
)
и
b
(
s
)
приведены на
рис. 2.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
29
