результатов. Из результатов исследования следует, что мнимый верх-
ний индекс функции Лежандра не приводит к квантованию, следова-
тельно, нужно брать вещественные
μ
. Далее при вещественном
μ
=
a
функции Лежандра разного рода, различные
n
= 0
,
1
,
2
, . . .
и разные
диапазоны изменения аргументов
σ
(
σ >
1
,
σ <
1
) приводят к одно-
му результату, а именно из условия вещественности (или мнимости)
плотности сохраняющейся величины
ρ
следует квантование верхнего
индекса функции Лежандра
μ
=
a
=
±
0
,
1
2
,
1
,
3
2
,
2
, . . .
.
Обратимся к графику функции
a
(
s
)
(см. рис. 2). При
|
a
| ≥
1
значе-
ния
a
лежат на ветви
a
=
±
1 +
s
(
s
+ 1)
, и на этой ветви получаются
физически бессмысленные значения спина. Например,
s
= 0
,
7
при
a
=
3
2
;
s
= 1
,
3
при
a
= 2
и т.п. (аналогично для отрицательных значе-
ний
a
). Видимо, это лишние решения. При
|
a
| ≤
1
значения
a
лежат на
другой ветви:
a
=
±
1
−
s
(
s
+ 1)
. Мы отбросим крайние точки
a
= 1
и
a
= 0
этой ветви, ибо, как это видно на графике, они лежат на других
ветвях, с лишними решениями (впрочем, не исключено, что эти точки
все же имеют какой-то смысл). При этом остается только
a
=
±
1
2
,
соответствующее спиновому квантовому числу
s
=
1
2
. Существенно,
что лишние решения лежат на другой ветви.
Следует отметить, что постановка вопроса о полном количестве
сохраняющейся величины с плотностью
ρ
, видимо, не имеет смысла
(и, следовательно, бессмысленно говорить о нормировке). Дело в том,
что при интегрировании
ρ
получаются расходящиеся интегралы. При-
ведем пример такого интегрирования. Для варианта:
n
= 0
, функция
Лежандра первого рода,
σ <
1
,
a
=
1
2
интегрирование приводит к
следующему выражению (без учета сферической функции с угловыми
аргументами):
4
Γ
2
−
1
2
1
ε
dσ
σ
√
1
−
σ
2
=
ln 2
−
ln
ε
π
.
При
ε
→
0
этот интеграл логарифмически расходится.
10. Итак, из условия вещественности (или мнимости) сохраняю-
щейся величины получается единственное значение верхнего индекса
функции Лежандра
μ
=
a
=
±
1
2
, соответствующее спиновому кван-
товому числу
s
=
1
2
. При этом получаются два значения спинового
момента импульса: одно — вещественное
L
s
=
s
(
s
+ 1) =
√
3
2
,
32
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
