7. В уравнении (4) угловые переменные отделяются от радиальной
и временн´ой переменных. Решение уравнения для угловых перемен-
ных приводит к сферической функции
Y
nm
(
θ, ϕ
)
, а для функции
f
(
t, r
)
временн´ой и радиальной переменных получается уравнение
r
2
c
2
∂
2
f
∂t
2
+
c
2
t
2
∂
2
f
∂r
2
+ 2
rt
∂
2
f
∂r∂t
+ 3
t
∂f
∂t
+
+
r
2
c
2
t
2
r
2
+1
∂f
∂r
−
λ
+
n
(
n
+1)
c
2
t
2
r
2
−
1
f
= 0
, n
= 0
,
1
,
2
, . . . .
(9)
Здесь переменные
r
и
t
не разделяются. Стоит отметить, что урав-
нение (9) при любых значениях переменных
r
и
t
— параболического
типа. Если в выражение (8) для плотности сохраняющейся величины
подставить функцию
Ψ
в виде
Ψ(
t, r, θ, ϕ
) =
f
(
t, r
)
ψ
(
θ, ϕ
)
(анало-
гично и для
¯Ψ
) и учесть величину элемента объема в сферических
координатах, то для сферической функции, нормированной на едини-
цу, количество сохраняющейся величины в шаровом слое
r, r
+
dr
получается в виде
¯
f
r
2
c
∂f
∂t
+
ctr
∂f
∂r
−
f
r
2
c
∂
¯
f
∂t
+
ctr
∂
¯
f
∂r
r
2
dr.
(10)
Нет никаких оснований приписывать этой величине ту или иную раз-
мерность, поэтому по аналогии с обычной квантовомеханической ве-
роятностью будем считать эту величину безразмерной. Тогда решение
уравнения (9) следует искать в виде
f
(
σ, η
) =
η
Φ(
σ
)
,
(11)
где
η
= 1
/
(
ct
)
2
α
r
2
−
2
α
;
σ
=
ct/r
— безразмерная переменная. Так как
мы переходим от независимых переменных
t, r
к двум другим не-
зависимым переменным
η, σ
, то, вообще говоря,
α
можно выбирать
произвольно. Однако, подстановка выражения (11) в уравнение (9)
и дальнейший анализ показывает, что переменные
η, σ
разделяются
лишь при
α
= 0
, т.е. при
η
= 1
/r
2
. Таким образом, решение уравнения
(9) ищем в виде
f
(
t, r
) =
1
r
2
Φ(
σ
)
. При подстановке функции этого
вида в уравнение (9) получаем уравнение для функции
Φ(
σ
)
:
(
σ
2
−
1)
2
Φ +4
σ
(
σ
2
−
1)Φ +2(
σ
2
−
1)Φ
−
[
λ
+
n
(
n
+1)(
σ
2
−
1)]Φ
.
(12)
Если теперь применить подстановку
Φ(
σ
) =
u
(
σ
)
±
(
σ
2
−
1)
, то это
уравнение сводится к уравнению Лежандра
(1
−
σ
2
)
2
u
−
2
σ
(1
−
σ
2
)
u
+ [
n
(
n
+ 1)(1
−
σ
2
)
−
(
λ
+ 1)]
u
= 0
.
(13)
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
