станочного модуля
T
C
и вращающегося кольца
T
K
. Формулы потенци-
альной энергии системы должны учитывать потенциальную энергию
упругой деформации станочного модуля (коэффициент
K
C
), потен-
циальную энергию кольца. В уравнениях динамики будем учитывать
силы резания и внутреннего трения.
Получим зависимости, описывающие поведение кольца с нерастя-
жимой средней линией, вращающегося с постоянной скоростью
Ω
на двух опорных роликах. При выводе уравнений примем следую-
щие допущения. Радиус средней линии кольца постоянен и равен
r
.
Опорные ролики имеют форму цилиндра постоянного радиуса, их оси
параллельны. Оси вращения кольца в возмущенном и невозмущенном
движении совпадают. Силу внутреннего трения учитываем по зако-
ну Фойхта. Угол между опорами равен 2
α
, радиальные перемещения
кольца в точках опор равны нулю. Ширина кольца
a
, толщина
h
. Пере-
мещение точки кольца в процессе деформации зададим в лагранжевой
системе координат радиальным (
U
) и тангенциальным (
V
) переме-
щениями. При разработке математической модели динамики кольца
используем гипотезу плоских сечений, применяемую в теории балок.
Радиальное перемещение
U
точек кольца представим в виде ря-
да Фурье. Одной из особенностей задачи моделирования динамики
вращающегося на двух опорах кольца (или оболочки) является учет
возникающего при этом прецессионного движения возбужденных сто-
ячих волн, обусловленного действием кориолисовых сил. В работе [2]
показано, что скорость прецессии гармоник стоячих волн во враща-
ющемся на опорах кольце равна скорости вращения кольца
˙
ϕ
ui
= Ω
(
i
= 1
, . . . , N
). С учетом этого радиальное перемещение
U
точек коль-
ца представим в виде ряда Фурье
U
=
N
X
i
=1
[
a
ui
(
t
) cos (
i
(
θ
+
ϕ
ui
(
t
))) +
b
ui
(
t
) sin (
i
(
θ
+
ϕ
ui
(
t
)))]
,
(1)
где
a
ui
, b
ui
— обобщенные координаты, зависящие от времени;
ϕ
ui
—
функции времени, задающие прецессию
i
-й гармоники стоячей волны
по координате
U
.
Тангенциальное перемещение точек кольца, учитывая условие не-
растяжимости средней линии
V
=
−
Z
U dθ
, зададим зависимостью
V
=
−
N
X
i
=1
a
ui
i
sin(
i
(
θ
+
ϕ
ui
)) +
N
X
i
=1
b
ui
i
cos(
i
(
θ
+
ϕ
ui
))
.
(2)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
41
