ношением
δγ
=
∂γ
∂q
j
δq
j
. Для вычисления полной работы силы вну-
треннего трения во всем кольце при его изгибе вследствие вариации
обобщенной координаты
δq
j
используем формулу
δA
TP
=
JEK
T
r
3
2
π
Z
0
∂γ
∂t
∂γ
∂q
j
dθδq
j
.
Величину
F
q
j
=
JEK
T
r
3
2
π
Z
0
∂γ
∂t
∂γ
∂q
j
dθ
— обобщенную силу трения,
действующую по координате
q
j
, определим следующим образом. Ис-
пользуя формулу (1), для обобщенных сил трения, действующих по
обобщенным координатам
a
uj
, b
uj
(
j
= 1
,
2
, . . . , N
), получаем следую-
щие выражения:
F
aj
=
πμK
T
(
j
2
−
1)
2
˙
a
uj
+
πμK
T
j
(
j
2
−
1)
2
b
uj
˙
ϕ
uj
,
(6)
F
bj
=
−
πμK
T
j
(
j
2
−
1)
2
a
uj
˙
ϕ
uj
+
πμK
T
(
j
2
−
1)
2
˙
b
uj
.
(7)
Видно, что приведенные формулы отличаются от классических,
получаемых путем дифференцирования матрицы жесткостей по вре-
мени. При наличии прецессии стоячей волны появляется дополнитель-
ная составляющая силы внутреннего трения, зависящая от скорости
прецессии
˙
ϕ
uj
. При скорости, равной нулю, как частный случай полу-
чаем классические формулы.
Найдем обобщенные силы
Q
aj
,
Q
bj
, действующие по обобщен-
ным координатам кольца вследствие действия сил резания. Вычисляя
элементарную работу сил
P
RK
,
P
TK
, действующих соответственно в
радиальном и касательном направлениях к поверхности кольца в точке
θ
R
, на элементарных перемещениях обобщенных координат, получаем
Q
aj
=
−
P
RK
cos (
j
(
θ
R
−
Ω
t
+
ϕ
uj
(
t
))) +
+
P
TK
j
sin (
j
(
θ
R
−
Ω
t
+
ϕ
uj
(
t
))) ;
(8)
Q
bj
=
−
P
RK
sin (
j
(
θ
R
−
Ω
t
+
ϕ
uj
(
t
)))
−
−
P
TK
j
cos (
j
(
θ
R
−
Ω
t
+
ϕ
uj
(
t
)))
.
(9)
Для сил резания, действующих на кольцо и станочный модуль,
имеем
P
RK
= 10
C
P
P
t
X
p
R
S
Y
p
V
n
p
;
P
TK
= 10
C
T
P
t
X
T
R
S
Y
T
V
n
T
;
P
RC
= 10
C
P
P
t
X
p
R
S
Y
p
V
n
p
.
(10)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
43
