В точках опор радиальные перемещения кольца равны нулю, по-
этому имеем условия
N
X
i
=1
a
ui
cos (
i
(
π
−
α
−
Ω
t
+
ϕ
ui
)) +
+
N
X
i
=1
b
ui
sin (
i
(
π
−
α
−
Ω
t
+
ϕ
ui
)) = 0;
(3)
N
X
i
=1
a
ui
cos (
i
(
π
+
α
−
Ω
t
+
ϕ
ui
)) +
+
N
X
i
=1
b
ui
sin (
i
(
π
+
α
−
Ω
t
+
ϕ
ui
)) = 0
.
(4)
Кинетическую и потенциальную энергии вращающегося кольца опре-
деляем по формулам
T
=
χ
2
2
π
Z
0
h
( ˙
V
+ Ω
r
+ Ω
U
)
2
+ ( ˙
U
−
Ω
V
)
2
i
dθ
;
Π =
μ
2
2
π
Z
0
U
+
∂
2
U
∂θ
2
2
dθ,
(5)
где
χ
=
rρF
;
μ
=
EJ/r
3
;
r, ρ, F
— соответственно радиус средней
линии кольца, удельная плотность материала, площадь поперечного
сечения;
E
,
J
— соответственно модуль Юнга и момент инерции по-
перечного сечения.
Найдем зависимости для обобщенных сил внутреннего трения,
действующих по координатам
a
uj
,
b
uj
. Для вычисления напряже-
ния, возникающего в материале кольца, используем закон Фойхта
σ
T
=
K
T
E
∂e
∂t
, где
К
Т
— коэффициент внутреннего трения,
е
—
деформация при изгибе.
Величину деформации определим соотношением
e
=
zγ/r
2
; из-
менения кривизны вследствие изменения переменной
U
—
γ
r
2
=
=
−
U
−
∂
2
U
∂θ
2
/r
2
; момент сил внутреннего трения
M
=
Z
S
zσdS
=
=
JEK
T
r
2
∂γ
∂t
; изменение элементарной работы
δA
Δ
θ
TR
=
Mδα δα
=
=
δγ
r
2
r
Δ
θ
— изменение угла ; вариацию кривизны определим соот-
42
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
