Многомерное евклидово пространство.
Следуясистематизации
аксиом МСС, предложенной в [2, 3], примем в качестве аксиомы 1
гипотезу о наличии континуумов (сплошных сред) в некотором ме-
трическом пространстве
χ
, а в качестве аксиомы 2 положим, что это
пространство
χ
является
n
-мерным точечно-евклидовым (аффинным)
пространством
E
n
. Так же, как и в классической МСС, примем истин-
ной аксиому 3 о существовании абсолютного времени
t
(т.е. реляти-
вистскими эффектами пренебрегаем). Тогда, как и в 3-мерной МСС,
можно ввести лагранжево-эйлерово описание движениятел (контину-
умов) в
E
n
с помощью закона движения
x
=
x
(
X
i
, t
)
, где
x
=
x
i
e
i
—
радиус-вектор произвольной точки
M
в единой системе координат
O
e
i
, наличие которой гарантирует евклидовость пространства
E
n
(
e
i
— ортонормированный базис в
E
n
;
x
i
— декартовы (эйлеровы)
координаты точки;
X
i
=
X
i
(
0
x
i
)
— лагранжевы координаты,
0
x
i
— де-
картовы координаты в начальный момент времени). Здесь и далее
i
= 1
. . . n
.
Движение континуума
V
во времени в пространстве
E
n
харак-
теризует градиент деформации
F
, который связывает элементарные
радиус-векторы
d
0
x
и
dx
в начальный момент времени и в момент
времени
t
:
dx
= F
·
d
0
x
. Полагаяфункции
x
=
x
(
X
i
, t
)
дифферен-
цируемыми, стандартным образом вводим локальные векторы базиса
r
=
∂x
(
X
i
, t
)
∂X
j
и вектор скорости
v
=
∂x
(
X
i
, t
)
∂t
материальной точки,
метрическую матрицу
g
ij
=
r
i
·
r
j
, обратную метрическую матрицу
g
ij
g
jk
=
δ
k
i
, взаимные векторы базиса
r
i
=
g
ij
r
j
и символы Кристоф-
феля
Γ
k
ij
∂r
i
∂X
j
= Γ
k
ij
r
k
. а также ковариантное дифференцирование в
E
n
[10] с помощью набла-оператора
∇
=
r
i
∂
∂X
i
.
Длятого чтобы ввести понятияобъема, нормали, ориентированной
площадки и векторного произведения, введем ориентацию простран-
ства
E
n
и длябазисов одного класса рассмотрим в
E
n
полилинейные
формы
k
-го порядка
P
(
a
1
. . . a
k
) =
√
ge
i
1
...i
n
a
i
1
1
. . . a
i
k
k
r
i
k
+1
⊗
. . .
⊗
r
i
n
,
(1)
где
g
= det
g
ij
;
a
i
1
1
, . . . , a
i
k
k
— компоненты векторов
a
1
, . . . , a
k
в ба-
зисе
r
k
;
⊗
— знак операции тензорного умножения[10];
e
i
1
...i
n
—
n
-
мерные символы Леви-Чивиты [11]. Объем
V
параллелепипеда, по-
строенного на векторах
a
1
, . . . , a
n
, определяется как полилинейная
форма
n
-го порядка:
V
=
P
(
a
1
. . . a
n
) =
√
ge
i
1
...i
n
a
i
1
1
. . . a
i
n
n
. Ориенти-
рованнаяплощадка определяетсякак полилинейнаяформа
(
n
−
1)
-го
порядка
n
Σ =
P
(
a
1
. . . a
n
−
1
) =
√
ge
i
1
...i
n
a
i
1
1
. . . a
i
n
−
1
n
−
1
r
i
n
, т.е. это вектор,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
57
