Q
m
=
V
ρq
m
dV
;
Q
Σ
=
Σ
q
Σ
d
Σ; ¯
Q
m
=
V
ρq
m
θ
dV
; ¯
Q
Σ
=
Σ
q
Σ
θ
d
Σ
.
В уравнениях (17)–(19)
K
— кинетическаяэнергия;
W
— мощность
внешних сил;
¯
Q
= ¯
Q
m
+ ¯
Q
Σ
— производство энтропии за счет внеш-
них источников;
e
=
dH/dM
и
η
=
dU/dM
— плотности внутренней
энергии и энтропии,
q
m
=
dQ/dM
и
q
Σ
=
dQ/d
Σ
— плотности внешних
массовых и поверхностных источников теплоты. Обобщеннаятеоре-
ма Коши [4] позволяет ввести вектор теплового потока на площадке
с нормалью
n
:
q
Σ
=
n
·
q
, который полагают удовлетворяющим нера-
венству Фурье
∇
θ
·
q
0
(аксиома 10). Тогда, используястандартные
преобразования3-мерной теории [4], из (17) и (18) получаем уравне-
нияэнергии и баланса энтропии
ρ
de
dt
=
∇ ·
q
+ T
· ·∇ ⊗
v
т
+
ρq
m
;
(20)
ρθ
dη
dt
=
−∇ ·
q
+
ρq
m
+
w
∗
,
(21)
где
w
∗
=
ρq
∗
+
q
θ
· ∇
θ
0
— функциядиссипации.
Определяющие соотношения для многомерного тела.
Вводя
свободную энергию Гельмгольца
ψ
=
e
−
θη
, с помощью уравнений
(20) и (21) получаем основное термодинамическое тождество
ρ
dψ
dt
−
ρη
dθ
dt
−
T
· ·∇ ⊗
v
т
+
w
∗
= 0
.
(22)
В работах [4, 11] доказана теорема о том, что удельную мощность
внутренних поверхностных сил можно представить в виде
T
· ·∇ ⊗
v
т
=
(
m
)
T
· ·
d
dt
(
m
)
C
,
(23)
где
(
m
)
T
,
(
m
)
C
— так называемые энергетические пары тензоров напряже-
ний и деформаций, являющиеся симметричными тензорами и облада-
ющие рядом важных свойств [3, 4]. Представление (23) имеет место
и в многомерном случае.
Тензоры
(
m
)
C
представляют собой степени от правого тензора ис-
кажений
U
:
(
m
)
C =
1
m
−
3
(U
m
−
3
−
E)
, который в свою очередь опре-
деляется с помощью полярного разложения градиента деформации:
F = O
·
U
, где
U
— симметричный положительно-определенный тен-
зор, а
O
— ортогональный тензор поворота, сопровождающий дефор-
мацию.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
61
