Соотношение (31) показывает, насколько принципиально отличие
определяющих соотношений для 3-мерного изотропного тела и мно-
гомерного изотропного тела при
n >
3
: если ввести классическую
гипотезу о независимости потенциала (27) от старшего инварианта
(обычно от
det(
(
m
)
C ))
, то для3-мерных тел она неминуемо приводит к
квазилинейности соотношений (32):
(
m
)
T = ¯
ϕ
1
E+ ¯
ϕ
2
(
m
)
C
. Длямногомер-
ного тела эта гипотеза лишь понижает степень тензорной нелинейно-
сти определяющих соотношений на 1, а для полной квазилинейности
необходимо ввести допущенияо независимости потенциала (27) от
всех инвариантов
I
α
(
(
m
)
C )
,
α >
2
. Таким образом, можно сделать пред-
варительный вывод о том, что квазилинейность соотношений (31),
котораячасто вводитсяв классической МСС, являетсяследствием 3-
мерности пространства, в пространстве же
E
n
эта гипотеза может
потребовать более существенных обоснований.
Как и в классической МСС, можно ввести простейшее многомер-
ное изотропное линейно-упругое тело, длякоторого зависимость (27)
является квадратичной функцией от
(
m
)
C
, а соотношение (31) — линей-
ным:
◦
ρψ
(
θ,
(
m
)
C ) =
◦
ρψ
0
+
λ
1
2
I
2
1
(
(
m
)
C ) +
λ
2
I
2
(
(
m
)
C );
(33)
(
m
)
T =
J
(
λ
1
I
1
(
(
m
)
C )E + 2
λ
2
(
m
)
C )
, J
=
ρ/
◦
ρ.
(34)
Формально эти соотношениясовпадают с аналогичными из 3-
мерной теории, поэтому длямногомерного линейно-упругого изотроп-
ного тела число упругих констант
λ
1
, λ
2
такое же, как и для3-мерного
тела, — оно равно 2. Этот вывод согласуетсяс известным в теории
упругости переходом от 2-мерного случаяк 3-мерному — число упру-
гих констант в этом переходе остаетсянеизменным, равным 2.
Растяжение многомерного бруса.
Рассмотрим простейшую за-
дачу нелинейной упругости с конечными деформациями — задачу о
растяжении бруса, представляющего собой многомерный параллеле-
пипед с длиной ребра
l
i
0
в начальной конфигурации и
l
i
в актуальной.
Закон движениябруса задаетсяв виде
x
α
=
k
α
(
t
)
X
α
(по
α
сумми-
рованиянет), где
k
α
(
t
)
— коэффициенты кратности растяжения. Ему
соответствует градиент деформации
F = U =
n
α
=1
k
α
(
t
)e
α
⊗
e
α
, а тен-
64
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
