зоры деформации и их инварианты (29) имеют вид
(
m
)
C =
1
m
−
3
n
α
=1
(
k
m
−
3
α
−
1)e
α
⊗
e
α
;
I
γ
(
(
m
)
C ) =
1
(
m
−
3)
γ
n
α
=1
(
k
m
−
3
α
−
1)
γ
, γ
= 1
. . . n.
(35)
Подставля эти выраженияв (34), находим энергетический тензор
напряжений
(
m
)
T =
n
α
=1
(
m
)
T
αα
e
α
⊗
e
α
;
(
m
)
T
αα
=
J
m
−
3
λ
1
n
γ
=1
(
k
m
−
3
γ
−
1) + 2
λ
2
(
k
m
−
3
α
−
1)
.
(36)
С помощью формул из работы [4] и выражения(36) вычисляем
тензор напряжений Коши:
T =
n
α
=1
σ
αα
e
α
⊗
e
α
, σ
αα
=
k
m
−
3
α
(
m
)
T
αα
,
(37)
который, как и в 3-мерном случае, не зависит от координат и, следова-
тельно, автоматически удовлетворяет уравнениям квазистатического
равновесия(12) при отсутствии массовых сил:
∇ ·
T = 0
. Граничные
условияположим следующими: гиперповерхность
x
1
= 0
неподвиж-
на, на гиперповерхности
x
1
=
l
1
задано ее растяжение, “боковые”
гиперповерхности бруса
x
i
=
l
i
,
x
i
= 0
,
i
= 1
свободны от нагрузок.
Тогда все компоненты
σ
αα
,
α
= 1
обращаютсяв нуль, а коэффициен-
ты
k
α
,
α
= 1
совпадают между собой. В результате из (37) получаем
систему двух уравнений
σ
αα
=
Jk
m
−
3
α
m
−
3
λ
1
n
γ
=1
(
k
m
−
3
γ
−
1) + 2
λ
2
(
k
m
−
3
α
−
1) ;
λ
1
n
γ
=1
(
k
m
−
3
γ
−
1) + 2
λ
2
(
k
m
−
3
α
−
1) = 0
.
(38)
Выражаяиз второго уравнения
k
α
,
α
= 1
, через
k
1
k
m
−
3
α
= 1
−
ν
(
k
m
−
3
1
−
1)
, ν
=
λ
1
(
n
−
1)
λ
1
+ 2
λ
2
, α
= 2
. . . n,
(39)
и подставля получившеесявыражение в первое уравнение, получаем
искомую зависимость напряжения
σ
11
от кратности удлинения
k
1
в
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
65
