I
α
(
(
m
)
C )
, которые сами удовлетворяют соотношению (26):
ψ
(
θ,
(
m
)
C ) =
ψ
(
θ, I
1
(
(
m
)
C )
. . . I
r
(
(
m
)
C ));
(27)
I
α
(
(
m
)
C ) =
I
α
(H
·
(
m
)
C
·
H
т
)
,
∀
H
∈
G
S
⊂
SO
(
n
)
, α
= 1
. . . r.
(28)
Тело, длякоторого группа
G
S
совпадает с
SO
(
n
)
, назовем
много-
мерным изотропным телом
. Число
r
независимых скалярных инва-
риантов
I
α
(
(
m
)
C )
симметричного тензора 2-го ранга
(
m
)
C
относительно
группы
G
S
=
SO
(
n
)
равно числу
n
— размерности проcтранства
E
n
.
Это следует из свойства представимости всякого инварианта
I
α
(
(
m
)
C )
вида (28) как функции собственных значений тензора
(
m
)
C
, число кото-
рых равно
n
. В качестве функционального базиса инвариантов
I
α
(
(
m
)
C )
можно выбрать сами собственные значения, а также скалярные поли-
номы от
I
α
(
(
m
)
C )
степени от 1 до
n
:
I
α
(
(
m
)
C ) = E
· ·
(
m
)
C
α
=
I
1
(
(
m
)
C
α
)
, α
= 1
. . . n,
(29)
где
(
m
)
C
α
=
(
m
)
C
·
. . .
α
·
(
m
)
C
— тензорнаястепень, а
E
— метрический тензор.
Вместо скалярного полинома
n
-й степени можно выбрать детерминант
тензора
det(
(
m
)
C )
.
Подставляясоотношения(27) в (25), получаем соотношениямежду
напряжениями и деформациями многомерного изотропного тела
(
m
)
T =
F
(
θ,
(
m
)
C ) =
n
α
=1
ϕ
α
I
α
;
(30)
ϕ
α
(
θ, I
1
(
(
m
)
C )
. . . I
r
(
(
m
)
C )) =
ρ
∂ψ
∂I
α
(
(
m
)
C )
,
(31)
где
I
α
=
∂I
α
∂
(
m
)
C
— тензоры производной от скалярных инвариантов. Вы-
числя тензоры производной дляполиномиальных инвариантов (29) с
помощью методов работы [4], соотношение (30) можно записать так:
(
m
)
T =
n
−
1
α
=1
¯
ϕ
α
(
m
)
C
α
.
(32)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
63
