d
dt
V
ρv dV
=
V
ρf
m
dV
+
Σ
t
Σ
d
Σ
,
(7)
где
ρ
=
dM/dV
— плотность тела,
f
m
=
df/dM
— вектор плотности
внешней массовой силы;
t
Σ
=
df/d
Σ
— вектор поверхностных сил.
Закон изменения момента импульса.
При попытке обобщения
аксиомы 6 — закона изменениямомента импульса — на многомерный
случай возникает известнаяпроблема: векторное произведение как
операция, ставящая в соответствие паре векторов из
E
n
вектор (бо-
лее строго — псевдовектор) из
E
n
, определено только для3-мерного
пространства. Разнообразные попытки обобщенияэтой операции на
многомерный случай особого успеха, длязадач обобщенияМСС, не
имели. Принципиально новым моментом развиваемой теории является
введение в
n
-мерном пространстве обобщенной операции векторного
произведения, определяемого соотношением (2):
a
1
×
a
2
≡
P
(
a
1
a
2
)
.
Закон изменениямомента импульса (аксиома 6) с учетом операции
(3) постулирует существование следующего уравнениядлякаждого
многомерного тела
d
dt
(
n
−
2
¯
m
) =
n
−
2
μ,
(8)
где
n
−
2
¯
m
— тензор момента импульса тела (тензор (
n
−
2
)-го ранга);
n
−
2
μ
— тензор суммарных моментов внешних сил; при этом
n
−
2
¯
m
=
V
ρx
×
v dV
;
(9)
n
−
2
μ
=
n
−
2
μ
m
+
n
−
2
μ
Σ
;
(10)
n
−
2
μ
m
=
V
ρx
×
f
m
dV,
n
−
2
μ
Σ
=
Σ
x
×
t
Σ
d
Σ
.
(11)
Тензор напряжений Коши.
Тензор напряжений Коши
T
длямно-
гомерного тела вводитсятак же, как и для3-мерного, с помощью
формулы Коши:
t
Σ
=
n
·
T
, где
n
— вектор нормали к площадке
d
Σ
,
на которой определен вектор поверхностных сил
t
Σ
. Подставляя эту
формулу в (7), стандартным способом [4] получаем уравнение движе-
ниядлямногомерного тела
ρ
dv
dt
=
∇ ·
T +
ρf
m
.
(12)
Подставля формулу Коши в уравнение изменениямоментов (8) с
учетом соотношений (9)–(11), получаем
V
ρ
dx
dt
×
v
+
x
×
dv
dt
dV
=
V
ρx
×
f
m
dV
−
V
∇·
(T
×
x
)
dV.
(13)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
59
