виде
σ
11
= 2
λ
2
(1 +
ν
)
k
m
−
4
1
m
−
3
(
k
m
−
3
1
−
1)(1
−
ν
(
k
m
−
3
1
−
1))
−
n
−
1
m
−
3
.
(40)
Здесь изменение плотности бруса
J
=
ρ/
◦
ρ
получено с помощью урав-
нениянеразрывности:
J
=
ρ/
◦
ρ
=
◦
V
= 1
/
(
k
1
k
n
−
1
2
) =
k
−
1
1
(1
−
ν
(
k
m
−
3
1
−
1))
−
n
−
1
m
−
3
.
Из формулы (40) следует, что размерность пространства
n
в зада-
че о растяжении бруса проявляется в виде двух эффектов, а именно:
в виде зависимости многомерного коэффициента Пуассона
ν
от
n
(с
увеличением
n
коэффициент Пуассона стремитсяк нулю) и виде за-
висимости измененияплотности
J
от
n
.
Модель многомерного жесткого тела.
Рассмотрим теперь модель
многомерного жесткого тела
в пространстве
E
n
, расстояния между
отдельными точками которого считаютсяпостоянными. Закон движе-
нияжесткого тела имеет вид
x
j
=
x
0
j
(
t
) +
Q
j
i
(
t
)
X
i
, где
X
i
— ла-
гранжевы координаты;
x
0
j
(
t
)
— координаты вектора поступательного
движенияцентра масс;
Q
j
i
(
t
)
— ортогональнаяматрица поворота. В
векторном представлении закон движенияимеет вид
x
=
x
0
(
t
) + Q
·
˜
x ,
(41)
где
Q =
Q
ij
e
i
⊗
e
j
— тензор поворота;
˜
x
=
X
i
e
i
— локальный радиус-
вектор точек;
¯e
i
= Q
·
e
i
— подвижный базис, который движетсявместе
с телом.
Дифференцируя(41) по времени
t
, получаем обобщение классиче-
ской формулы Эйлера на
n
-мерный случай:
v
=
v
0
+ ˜
x
·
W
,
(42)
где
˜
x
=
x
−
x
0
— относительный радиус-вектор в подвижной системе
отсчета;
v
0
= ˙
x
0
— скорость движенияцентра вращениякластера;
W = Q
·
˙Q
т
(43)
— кососимметричный тензор вращениятела.
Если подвижнаясистема отсчета
M
0
e
i
выбрана так, что центр вра-
щения
M
0
совпадает с центром масс
x
0
=
1
M
V
ρx dV
, то средняя
скорость тела совпадает с
v
0
:
¯
v
=
1
M
V
ρv dV
=
v
0
.
Подставляя формулу (42) в (7) и учитывая, что
1
M
V
ρ
˜
x dV
=
66
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
