Поскольку
dx
dt
=
v
, а также
v
×
v
= 0
(это свойство непосред-
ственно следует из определения(2)), то с учетом (4) имеем
∇·
(T
×
x
) =
−∇·
(T
⊗
x
)
··
n
э
=
−
((
∇·
T)
⊗
x
)
··
n
э
−
(e
i
·
T
⊗
e
i
)
··
n
э
=
=
−
((
∇ ·
T)
⊗
x
)
· ·
n
э
−
T
т
· ·
n
э
=
x
×
(
∇ ·
T)
−
T
т
· ·
n
э
(14)
и уравнение (13) можно переписать так:
V
(
x
×
ρ
dv
dt
−
ρf
m
− ∇ ·
T + T
т
· ·
n
э
)
dV
= 0
.
(15)
Выражение во внутренних скобках равно нулю в силу уравнения
(12), поэтому
V
T
т
· ·
n
э
dV
= 0
, откуда в силу произвольности обла-
сти
V
, получаем
T
т
· ·
n
э
= 0
. Используяопределение (3) тензора Леви-
Чивиты, из этого соотношенияполучаем свойство симметрии тензора
напряжений Коши, хорошо известное в 3-мерной МСС [2–4],
T = T
т
.
(16)
Законы термодинамики для многомерного тела.
Как и в 3-
мерной МСС [1–4], с помощью аксиомы 7 (нулевой закон термодина-
мики) вводим абсолютную температуру
θ >
0
в точке тела, с помо-
щью аксиом 8 и 9 — 1-й и 2-й законы термодинамики, постулирующие
существование четырех термодинамических характеристик тела (вну-
тренняя энергия
U
, скорость нагрева
Q
, энтропия
H
и производство
энтропии
¯
Q
∗
за счет внутренних источников):
d
dt
(
U
+
K
) =
W
+
Q
;
(17)
dH
dt
= ¯
Q
+ ¯
Q
∗
,
¯
Q
∗∗
0
,
(18)
где
U
=
V
ρedV
;
H
=
V
ρηdV
;
¯
Q
∗
=
V
ρq
∗∗
dV
;
K
=
V
ρ
|
v
|
2
2
dV
;
W
=
W
m
+
W
Σ
;
W
m
=
V
ρf
m
·
v dV
;
W
Σ
=
Σ
t
n
·
vd
Σ;
Q
=
Q
m
+
Q
Σ
;
¯
Q
= ¯
Q
m
+ ¯
Q
Σ
;
(19)
60
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
