ортогональный к гиперплоскости
S
, представляющей собой линейную
оболочку, натянутую на
a
1
, . . . , a
n
−
1
, где
Σ =
|
P
(
a
1
. . . a
n
−
1
)
|
— длина
этого вектора, а
n
=
P
(
a
1
. . . a
n
−
1
)
/
Σ
— вектор нормали к гиперплос-
кости
S
.
Векторное произведение двух векторов
a
1
, a
2
из
E
n
определим как
полилинейную форму 1-го порядка
a
1
×
a
2
≡
P
(
a
1
a
2
) =
√
ge
i
1
...i
n
a
i
1
1
a
i
2
2
r
i
3
⊗
. . .
⊗
r
i
n
.
(2)
Операция(2) известна в математике [12] в несколько иных обозна-
чениях, но дляобобщенияМСС ранее не применялась. Формально эта
операциясопоставляет двум векторам не вектор, а тензор (
n
−
2
)-го
ранга (дляслучая
n
= 3
получаем тензор 1-го ранга, т.е. вектор).
С помощью тензора Леви-Чивиты
n
э
=
√
ge
i
1
...i
n
r
i
1
⊗
. . .
⊗
r
i
n
(3)
векторное произведение (2) можно представить как свертку тензора
2-го ранга
a
2
×
a
1
с тензором
n
э
:
a
1
×
a
2
= (
a
2
⊗
a
1
)
· ·
n
э
,
(4)
в чем можно убедитьсянепосредственно.
Введем элементарный объем
dV
на элементарных радиус-векторах
dx
α
=
r
α
dX
α
(по греческим индексам суммированиянет), ориенти-
рованных по координатным линиям
X
α
, и ориентированную элемен-
тарную площадку:
dV
=
P
(
dx
1
. . . dx
) =
√
g dX
1
. . . dX
n
;
nd
Σ =
P
(
dx
i
1
. . . dx
i
n
−
1
) =
√
g e
i
1
...i
n
r
i
n
.
(5)
В пространстве
E
n
длягладких в области
V
тензорных полей
A(
x, t
)
имеет место обобщеннаятеорема Гаусса–Остроградского [12]
V
∇ ·
A
dV
=
Σ
n
·
A
d
Σ
.
Законы сохранения массы и импульса.
Введенные выше обо-
значениядля“конструкций” многомерного пространства
E
n
позво-
ляют достаточно формальным образом переформулировать аксиомы
3-мерной МСС на многомерный случай.
Дляконтинуума
V
, состоящего из одних и тех же материальных
точек, аксиоматически введем массу континуума
M
и вектор силы
f
взаимодействияконтинуума с внешними телами и подобно законам
3-мерной МСС сформулируем законы сохранениямассы и импульса
(аксиомы 4 и 5):
d
dt
V
ρdV
= 0;
(6)
58
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
