должны учитыватьизвестную из экспериментов информацию об их
более высокой теплоемкости и более низкой теплопроводности по
сравнению с соответствующими значениями массивных материалов
[1, 2]. В настоящей статье рассмотрена одна из возможных моделей
процесса теплопроводности в наноструктурных материалах.
Математическая модель.
Для получения термомеханических со-
отношений поведения наноматериалов воспользуемся моделью среды
с внутренними параметрами состояния. Выбор такого подхода объяс-
няется тем, что эта модельпозволяет связатьмакроскопическое пове-
дение тел с рядом микроструктурных процессов, которые протекают
на молекулярном и субмолекулярном уровнях [3, 4].
Полагаем, что состояние рассматриваемой сплошной среды в
окрестности любой материальной точки определяется четырьмя тер-
модинамическими функциями, являющимися активными перемен-
ными: массовыми плотностями свободной энергии
A
и энтропии
h
,
тензором напряжений с компонентами
σ
ij
=
σ
ji
и вектором плотно-
сти теплового потока с компонентами
q
i
,
i, j
= 1
,
2
,
3
. Аргументами
этих функций примем следующие реактивные переменные: тензор
малой деформации с компонентами
ε
kl
= (
∂u
k
/∂x
l
+
∂u
l
/∂x
k
)
/
2
, где
u
k
(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
– компоненты вектора перемещения,
x
k
— декартовы
прямоугольные координаты,
k, l
= 1
,
2
,
3
,
t
— время; абсолютную
температуру
T
(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
; градиент температуры, компоненты ко-
торого
ϑ
k
=
∂T/∂x
k
; внутренние параметры состояния — скалярный
Φ(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
и векторный с компонентами
χ
i
(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
[3–5]. При
этом векторный параметр характеризует процесс распространения
теплоты и может бытьассоциирован с решеточным (фононным),
электронным и др. физическими процессами теплопроводности, а
скалярный — с неравновесным процессом аккумуляции теплоты. В
дальнейшем полагаем, что в материале определяющим является фо-
нонный процесс теплопроводности, который можно ассоциироватьс
векторным параметром, имеющим компоненты
χ
i
.
Для получения системы определяющих уравнений используем пер-
вый закон термодинамики в виде
ρ
˙
u
=
σ
ij
˙
ε
ij
−
∂q
i
∂x
i
+
q
V
,
(1)
где
ρ, u
— плотностьвещества и массовая плотностьвнутренней энер-
гии;
q
V
— объемная плотностьмощности источников тепловыделения;
˙( ) =
∂
( )
/∂t
. Здесьи далее принято соглашение о суммировании по
повторяющимся латинским индексам. Из (1) с помощью преобразова-
ния Лежандра
u
=
A
+
Th
получаем
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
73
