где
T
0
— начальная температура;
˜
q
(
t
)
— плотностьподводимого к телу
теплового потока.
При
τ
T
→
0
ρ
(
c
+
c
1
/A
44
) ˙
T
= ˜
q
(
t
)
S/V
, т.е. удельная массовая те-
плоемкостьв предложенной модели может отличаться от соответству-
ющей величины для массивных материалов на
c
1
/A
44
. Этот эффект в
работах [1, 2] объясняют изменением вида и границ фононного спек-
тра, т.е. изменением функции распределения частот колебаний атомов.
При этом в случае малых частиц в теплоемкости присутствует вклад,
обусловленный их большой поверхностью, и поэтому можно ожидать
увеличения теплоемкости в несколько раз.
Если в качестве начальных условий выбрать
T
|
t
=0
=
T
0
,
∂T
∂t
t
=0
= 0
(15)
и ввести безразмерные параметры и переменные
¯
t
=
=
t/t
0
;
θ
= (
T
−
T
0
)
/T
∗
˜
c
=
c
1
/c
,
D
2
T
=
τ
T
/t
0
;
T
∗
=
=
Bt
m
0
S
/(
ρcV
)
;
q
0
( ¯
t
) =
M
¯
t
m
exp (
−
m
¯
t
)
;
M
=
m
m
/
(
m
−
1)
!, то
уравнение (14) и начальные условия (15) можно переписать в безраз-
мерном виде
1 +
˜
c
A
44
∂θ
∂
¯
t
−
˜
c
A
44
¯
t
0
exp
−
¯
t
−
t
D
2
T
/A
44
∂
2
θ
∂t
2
dt
=
q
0
;
θ
(0) = 0
,
˙
θ
(0) = 0
.
(16)
Аналитическое решение задачи (16) может бытьнайдено с помо-
щью преобразования Лапласа по переменной
¯
t
:
θ
( ¯
t
) =
¯
t
0
q
0
(
u
)
A
44
A
44
+ ˜
c
+
˜
c
A
44
+ ˜
c
exp
−
A
44
+ ˜
c
D
2
T
( ¯
t
−
u
)
du.
(17)
На рис. 1 представлены в сравнении средние значения температу-
ры, вычисленные по формуле (17) для различных значений
A
44
,
˜
c
, и
среднее значение температуры для модели, описываемой параболиче-
ским уравнением теплопроводности.
Видно, что с уменьшением значения параметра
A
44
, который мы
ассоциируем с размером частицы, уменьшается и значение средней
по объему температуры, что может бытьсвидетельством роста тепло-
емкости.
С увеличением параметра
˜
c
, т.е. ростом отношения
c
1
/c
, значение
средней температуры также уменьшается.
Оценка теплопроводности.
Для оценки теплопроводности нано-
структурных материалов положим
Z
(2)
ij
= 0
;
A
i
4
= 0
и
τ
q
˙
χ
i
≈
0
. Тогда
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
77
