Кинетические уравнения, описывающие изменение
χ
i
и
Φ
во вре-
мени, в линейном приближении примем в виде
τ
(
q
)
ij
˙
χ
j
+
A
ij
χ
j
+
A
i
4
Φ = ¯
χ
i
;
τ
T
Φ +
A
4
i
χ
i
+
A
44
Φ = ¯Φ
,
(8)
где
τ
T
– время релаксации внутреннего параметра
Φ
;
τ
(
q
)
ij
=
τ
q
τ
0
ij
;
τ
0
ij
—
компоненты симметричной матрицы
T
(0)
,
T
(0)
= 1
;
τ
q
— время ре-
лаксации внутреннего параметра
χ
;
A
ij
=
A
ji
,
A
4
i
=
A
i
4
,
det
A
ij
>
0
;
¯
χ
i
,
¯Φ
— функции, определяющие равновесные значения внутренних
параметров состояния. Такие кинетические уравнения позволяют учи-
тыватьвзаимосвязанностьпроцессов передачи теплоты и запаздыва-
ния при аккумуляции теплоты и предполагают, что наноструктурные
элементы заполняют объем произвольным образом.
Зададим выражение для объемной плотности свободной энергии в
виде
ρA
=
1
2
C
ijkl
ε
kl
ε
ij
−
C
ijkl
ε
kl
ε
(
T
)
ij
−
D
ijkl
ε
kl
ε
ij
+
ρB
(
T
) +
ρTB
1
(Φ)
,
(9)
где
B
(
T
)
,
B
1
(Φ)
— функции, определяющие изменение свободной
энергии только вследствие изменения абсолютной температуры
T
и
скалярного внутреннего параметра
Φ
(термодинамической темпера-
туры).
Тогда в соответствии с первым и вторым равенствами из (5) имеем
σ
ij
=
C
ijkl
ε
kl
−
ε
(
T
)
kl
−
D
ijkl
ε
(Φ)
kl
;
(10)
ρc
˙
T
+
ρc
1
˙Φ =
−
TC
ijkl
˙
ε
kl
∂ε
(
T
)
ij
∂T
−
∂q
i
∂x
i
+
q
V
,
(11)
где
c
=
−
Td
2
B/dT
2
и
c
1
=
−
TdB
1
/d
Φ
— удельные массовые тепло-
емкости, задающие изменение свободной энергии в зависимости от
˙
T
и
˙Φ
соответственно.
Дальнейшая конкретизация уравнения теплопроводности (11) свя-
зана с выбором вида функций
¯
χ
i
,
¯Φ
и вектора плотности теплового
потока. Положим
¯
χ
i
=
−
Z
(1)
ij
∂T/∂x
j
−
Z
(2)
ij
∂
Φ
/∂x
j
,
¯Φ =
T, q
i
=
ϕ
ij
χ
j
,
(12)
что не противоречит основным принципам рациональной термодина-
мики [3]. Тогда, решив систему уравнений (8) относительно
Φ
и
χ
i
с
начальными условиями
t
= 0
,
χ
i
= 0
,
Φ =
T
0
, получим выражение для
q
i
и
Φ
, а следовательно, и для
˙Φ
. Так как
ε
(Φ)
kl
зависит от термодинами-
ческой температуры
Φ
, то от
∂T /∂x
j
и
∂
Φ
/∂x
j
зависят и компоненты
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
75
