макроуровне. Для наноструктурных материалов анизотропия тепло-
проводности на наноуровне существует всегда, а именно
Λ
ij
=
ϕ
ik
B
km
Z
(1)
mj
=
ϕ
0
Z
0
δ
ik
B
km
δ
mj
=
λB
ij
или
Λ
ij
=
ϕ
0
Z
0
ϕ
(0)
ik
B
km
(
ϕ
(0)
jm
)
−
1
=
λ
Λ
(0)
ij
,
где
Λ
(0)
ij
=
ϕ
(0)
ik
B
km
(
ϕ
(0)
jm
)
−
1
.
Получитьзначение теплопроводности изотропного на макроуровне
наноструктурного материала можно следующим образом [6]. Выделим
в наноструктурном материале объем с достаточно большим числом
произвольно ориентированных относительно глобальной системы ко-
ординат элементов структуры. При случайной ориентации любое рас-
положение “наноосей” равновероятно и относительная плотность рас-
пределения нанообъемов материала
η
0
= 1
/
(8
π
2
)
[6]. Тогда операцию
осреднения тензоров с компонентами
B
ij
или
Λ
(0)
ij
можно представить
в виде
¯
B
ij
¯Λ
(0)
ij
=
2
π
0
dϕ
2
π
0
dψ
π
0
η
0
B
ij
(
θ, ψ, ϕ
) sin
θdθ,
где
θ
,
ψ
,
ϕ
— угловые координаты Эйлера. Заменяя далее
B
ij
или
Λ
(0)
ij
их средними значениями
¯
B
ij
=
B
0
δ
ij
или
¯Λ
(0)
ij
= Λ
0
δ
ij
, получим два
варианта выражения для теплопроводности изотропного нанострук-
турного материала:
Λ
ij
=
λB
0
δ
ij
или
Λ
ij
=
λ
Λ
0
δ
ij
. Поскольку тепло-
проводностьнаноструктурного материала меньше теплопроводности
массивного материала [1], то
0
< B
0
<
1
или
0
<
Λ
0
<
1
.
Можно предположить, что параметры
B
0
(Λ
0
)
зависят от характер-
ного размера частицы (зерна). Если положить, что такая зависимость
универсальна для всех материалов, то при известной теплопроводно-
сти массивного материала будет возможно прогнозирование теплопро-
водности наноструктурного материала.
Оценка влияния некоторых параметров на распределение тем-
пературы.
Проанализируем влияние параметров на распространение
теплоты в наноструктурном материале на примере задачи поверхност-
ного нагрева, не учитывая связанности полей температуры и дефор-
мации.
Рассмотрим кинетические уравнения следующего вида:
τ
(
q
)
ij
˙
χ
i
+
χ
j
= ¯
χ
i
;
τ
T
˙Φ + Φ = ¯Φ
.
(18)
В этом случае уравнение теплопроводности запишем как
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
79
