Математическая модель теплопроводности новых конструкционных материалов - page 3

ρ
∂A
∂ε ij − σij ˙ εij + ρ
∂A
∂T
+ h ˙
T + ρ
∂A
∂ϑi
˙
ϑi + ρ
∂A
∂ Φ
˙Φ+
+ ρ
∂A
∂χi
˙ χ i + ρT ˙
h +
∂qi
∂xi − qV = 0. (2)
Локальная форма второго закона термодинамики (неравенства Клаузиу-
са–Дюгема) имеет вид
ρT ˙
h +
∂qi
∂xi − T −1 qi
∂T
∂xi − q V ≥ 0. (3)
Вычитая далее из левой части неравенства (3) левую частьравен-
ства (2), получаем
− ρ
∂A
∂εij − σij ˙ εij − ρ
∂A
∂T
+ h ˙
T − ρ
∂A
∂ϑi
˙
ϑi − ρ
∂A
∂ Φ
˙Φ−
− ρ
∂A
∂χi
˙ χ i − T −1 qi
∂T
∂xi ≥ 0. (4)
Это неравенство линейно по отношению к скоростям изменения реак-
тивных переменных, которые или не являются определяющими пере-
менными ( ˙εij , ˙
T , ˙
ϑi ), или заданы соответствующими кинетическими
уравнениями. Так как второй закон термодинамики справедлив для
произвольных скоростей процессов, достаточным условием справед-
ливости неравенства (4) являются равенства
σij = ρ
∂A
∂εij
, h = −
∂A
∂T
,
∂A
∂ϑi
= 0 (5)
и неравенство
−ρ
∂A
∂ Φ
˙Φ− ρ
∂A
∂χi
˙ χi − T −1 qi
∂T
∂xi ≥ 0. (6)
Из неравенства (6) следует, что кинетические уравнения для опреде-
ляющих внутренних параметров Φ, χi не могут бытьпроизвольными,
конкретная их форма должна выбираться с учетом неравенства (6).
Если записатьзакон сохранения энергии (2) с учетом равенств (5),
то получим
ρT
∂2 A
∂T 2
˙
T = ρT −
∂h
∂εij
˙ εij −
∂h
∂ Φ
˙Φ−
∂h
∂χi
˙ χi −
∂qi
∂xi
+ qV + δ. (7)
Слагаемые, заключенные в скобках в правой части (7), характеризуют
термодинамическую связанностьпроцессов теплопроводности и де-
формирования, а также изменение внутренних параметров состояния.
74 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3