= 24
k
B
T
2
×
×
k j
k j
k j
V
(4)
−
k
1
j
1
k j
−
k j k
1
j
2
V
(4)
−
k
1
j
1
k j
−
k j k j
Υ
4
k j k j k j ,
(12)
где
Υ
4
k j k j k j
=
s s
D
(0)
k j
(
ω
s
)
D
(0)
k j
(
ω
s
)
D
(0)
k j
(
ω
s
) =
=
−
2
ω
k j
ω
k j
k
B
T
2 ˆ
n
k j
+1
ω
2
k j
−
ω
2
k j
⎛
⎝
2 ˆ
n
k j
+1
ω
k j
−
2 ˆ
n
k j
+ 1
ω
k j
⎞
⎠
.
Подставляя соотношения (8)–(12) в уравнение Дайсона (7), при-
ходим к выражению, определяющему фурье-трансформанту одно-
частичной мацубаровской функции Грина фонона. Полученный ре-
зультат, очевидно, не может быть записан в квазичастичном виде
1
ω
s
−
Ω
kj
+
i
Γ
kj
(здесь
Ω
kj
— перенормированная частота фонона,
Γ
kj
— величина, обратная времени жизни фонона типа
kj
)
. Тем не
менее действительные части полюсов функции (7) будут являться пе-
ренормированными частотами, а мнимые — временами жизни фоно-
нов, отвечающими каждой появившейся в результате взаимодействия
ветви фононного спектра.
Выводы.
Получено общее выражение, определяющее одночастич-
ную функцию Грина фонона для конечных температур. В зависимо-
сти от роли, которую играют рассматриваемые процессы рассеяния
в установлении равновесия, можно пользоваться различными аппрок-
симациями массового оператора. Пользуясь соотношениями (7)–(12),
можно проводить численные оценки времени жизни фононов в ди-
электриках, обусловленного трех- и четырехфононными процессами,
а также перенормировать их энергетический спектр.
Суммирование наиболее значимых диаграмм во всех порядках
позволяет с помощью полученных выражений проверить, насколько
справедливо предположение о независимости процессов рассеяния
для заданного типа кристалла. Отметим, что этого не удается сде-
лать, если для получения мацубаровской функции Грина использовать
конечную теорию возмущений.
58
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
