в выражении (9) (и далее) вычисляются с помощью соотношения
lim
N
→∞
+
N
s
=
−
N
g
(
s
) =
−
π
p
res
z
p
g
(
m
)
·
ctg (
πz
p
)
,
где
z
p
— полюс функции
g
(
z
)
.
Учитывая, что величина, обратная времени релаксации, определя-
ется как мнимая часть полюса фурье-трансформанты функции Грина,
заключаем, что (9) вносит вклад лишь в смещение частоты, обусло-
вленное фонон-фононным взаимодействием. Во время жизни фоно-
на четырехфононные процессы в первом порядке по взаимодействию
вклада не дают. Таким образом, при аппроксимации массового опера-
тора первыми двумя диаграммами из (8), время жизни целиком опреде-
ляется трехфононными взаимодействиями. Аналитическое выражение
для диаграммы, отвечающей их вкладу, имеет вид
= 18
k
B
T
2
k j
k j
V
(3)
−
k
1
j
1
k j k j
V
(3)
k
1
j
2
−
k j
−
k j
Υ
2
k j k j ,
(10)
где
Υ
2
k j k j
=
s s
D
(0)
k j
(
ω
s
)
D
(0)
k j
(
ω
s
)
δ
(
s
−
s
−
s
) =
=
2
k
B
T
⎡
⎢⎣
2 ˆ
n
k j
+ 1
ω
k j
ω
2
s
−
ω
2
k j
+
ω
2
k j
ω
2
s
−
ω
2
k j
+
ω
2
k j
2
+ 4
ω
2
k j
ω
2
s
+
+
2 ˆ
n
k j
+ 1
ω
k j
ω
2
s
+
ω
2
k j
−
ω
2
k j
ω
2
s
+
ω
2
k j
−
ω
2
k j
2
+ 4
ω
2
k j
ω
2
s
⎤
⎥⎦
.
Выпишем также выражения, определяющие вклады четырехфо-
нонных процессов во втором порядке по взаимодействию:
= 96
k
B
T
2
×
×
k j
k j
k j
V
(4)
−
k
1
j
1
k j k j k j
V
(4)
k
1
j
2
−
k j
−
k j
−
k j
Υ
3
k j k j k j ,
(11)
56
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
