M
2
=
T
τ
H
I
(
τ
)
H
I
(
τ
)
B
k
2
τ
2
B
k
1
τ
1
=
M
(3
,
3)
2
+
M
(4
,
4)
2
=
=
V
klm
V
k l m
T
τ
B
kτ
B
lτ
B
mτ
B
k τ
B
l τ
B
m τ
B
k
2
τ
2
B
k
1
τ
1
+
+
V
klmn
V
k l m n
T
τ
B
kτ
B
lτ
B
mτ
B
nτ
B
k τ
B
l τ
B
m τ
B
n τ
B
k
2
τ
2
B
k
1
τ
1
;
M
3
=
M
(3
,
3
,
4)
3
+
M
(4
,
4
,
4)
3
;
M
4
=
M
(3
,
3
,
3
,
3)
4
+
M
(3
,
3
,
4
,
4)
4
+
M
(4
,
4
,
4
,
4)
4
.
Здесь нижний индекс
M
отвечает порядку по взаимодействию, верх-
ние индексы в скобках — числам взаимодействующих фононов в ка-
ждом конкретном акте рассеяния.
Из выражения для
M
1
видно, что наиболее вероятные трехфонон-
ные процессы не вносят вклада в
M
1
, в то время как менее вероятные
четырехфононные вносят, так как
M
(4)
1
= 0
. В
M
2
вносят вклад уже
как четырехфононные процессы, так и трехфононные. В силу того что
M
(4)
2
отвечает процессам второго порядка по взаимодействию, мож-
но утверждать, что для всех типов кристаллов
M
(4)
1
M
(4)
2
. Однако
учитывая, что трехфононные процессы происходят гораздо чаще че-
тырехфононных, неясно, что больше —
M
(3)
2
или
M
(4)
1
. Таким образом,
трудно делать какие-либо выводы общего характера относительно то-
го, как соотносятся между собой величины
M
1
и
M
2
(например, что
всегда будет справедливо неравенство
M
(4)
1
M
(3)
2
+
M
(4)
2
)
.
Подобные ситуации, в которых невозможно ранжировать члены
разложения по величине, достаточно часто встречаются при рассмо-
трении многочастичных задач. Как правило, определяющий гринов-
скую функцию ряд сходится слишком медленно, чтобы можно было
воспользоваться конечной теорией возмущений, отбросив, например,
слагаемые выше третьего порядка. Поэтому в таких случаях прибега-
ют к выборочному суммированию — точному суммированию членов
разложения определенного типа, вклад которых предположительно до-
минирует, вплоть до бесконечного порядка.
Отметим, что просуммировав лишь избранные типы слагаемых
во всех порядках, мы в принципе лишаемся возможности оценить в
общем случае точность результата. Этим выборочное суммирование
существенно отличается от метода конечной теории возмущений, в
которой предполагается, что возмущение мало, а потому абсолютные
величины последовательных слагаемых заметно убывают с ростом их
порядка:
M
0
M
1
M
2
. . .
. Зная, до какого порядка проводится
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
53
