Для любого нецелого показателя
r
=
θR,
0
< θ <
1
,
справедливо
соотношение
ε
n
−
1
(
u
)
L
2
≤
Cn
−
r
|
u
|
H
r
(
I
0
)
,
8
u
2
H
r
(
I
0
)
,
R > r
,
R
2
Z
.
Отсюда с учетом замены
n
=
ν
+ 1
получаем
ε
ν
(
u
)
L
2
≤
C
1
(
ν
+ 1)
r
|
u
|
H
r
(
I
0
)
,
8
u
2
H
r
(
I
0
)
, при
ν
+ 1
≥
R > r.
(34)
4. Изначально нас интересует оценка величины
ε
ν
(
u
)
1/2
:
ε
ν
(
u
)
1/2
= inf
v
2P
ν
(
I
0
)
k
u
−
v
k
H
1/2
(
I
0
)
.
Поэтому запишем [25]
k
u
−
v
k
H
1/2
(
I
0
)
≤
c
1
/
2
k
u
−
v
k
1
/
2
L
2
(
I
0
)
k
u
−
v
k
1
/
2
H
1
(
I
0
)
,
откуда следует
ε
ν
(
u
)
1/2
≤
c
1
/
2
inf
v
2P
ν
(
I
0
)
h
k
u
−
v
k
1
/
2
L
2
(
I
0
)
k
u
−
v
k
1
/
2
H
1
(
I
0
)
i
,
где постоянная
c
1
/
2
>
0
.
Для
u
2
H
r
(
I
0
)
согласно (34) имеем оценку
ε
ν
(
u
)
L
2
(
I
0
)
≤
M
r
1
n
r
|
u
|
H
r
(
I
0
)
при
n
≥
r
,
8
u
2
H
r
(
I
0
)
,
r
= 3/2
,
5/2
, . . . ,
(35)
а для оценки второго сомножителя с учетом того, что
u
(1)
H
r
−
1
(
I
0
)
=
=
|
u
|
H
r
(
I
0
)
, имеем
ε
ν
(
u
)
H
1
(
I
0
)
=
ε
ν
(
u
(1)
)
L
2
(
I
0
)
≤
M
r
−
1
1
n
r
−
1
|
u
|
H
r
(
I
0
)
при
n
≥
R
,
8
u
(1)
2
H
r
−
1
(
I
0
)
.
(36)
В (35), (36) делаем замену в соответствии с пунктом 1 и переходим
к исходному отрезку
I
:
ε
ν
(
u
)
1/2
≤
c
1
/
2
M
r
1
n
r
1
/
2
M
r
−
1
1
n
r
−
1
1
/
2
|
I
|
r
|
u
|
H
r
(
I
)
;
ε
ν
(
u
)
1/2
≤
c
1
/
2
M
1
/
2
r
M
1
/
2
r
−
1
1
n
r
−
1
/
2
|
I
|
r
|
u
|
H
r
(
I
)
.
Возвращаясь к индексу
ν
заменой
n
=
ν
+ 1
,
получаем требуемое
неравенство.
H
Покажем с помощью уже доказанных соотношений насыщаемость
метода.
16
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
