и деформаций с напряжениями
e
ij
=
Ф
0
δ
ij
+
Ф
1
σ
ij
+
Ф
2
σ
iα
σ
αj
, i, j, α
= 1
,
2
,
3
,
(2)
где
σ
ij
— тензор напряжений;
ε
ij
— тензор деформаций;
Ф
β
,
F
β
(
β
= 0
,
1
,
2)
— скалярные функции инвариантов тензоров напряжений
и деформаций соответственно.
Для придания физического смысла основным сдвиговым характе-
ристикам полезно ввести в рассмотрение величины, определяющие
жесткость среды в направлении главных касательных напряжений,
G
i
=
τ
i
/γ
i
.
(3)
Здесь
τ
i
= (
σ
j
−
σ
α
)
/
2
— напряжения и
γ
i
=
ε
j
−
ε
α
— деформации
сдвига
(
i, j, α
= 1
,
2
,
3
;
i
6
=
j
6
=
α
)
, а
σ
i
=
S
0
c
i
/
3 +
σ
0
— главные
напряжения,
ε
i
=
e
0
d
i
/
2 +
ε
0
— главные деформации;
c
1
= 2 cos
θ
,
c
2
=
√
3 sin
θ
−
cos
θ
,
c
3
=
−
(
√
3 sin
θ
+cos
θ
)
,
θ
— угол вида напряжен-
ного состояния, определяемый соотношением
θ
= 1
/
3 arccos[9
S
ij
S
jα
S
αi
/
(2
S
3
0
)]
,
0
6
θ
6
π/
3;
(4)
d
1
= 2 cos
υ
,
d
2
=
√
3 sin
υ
−
cos
υ
,
d
3
=
−
(
√
3 sin
υ
+ cos
υ
)
,
υ
— угол
вида деформированного состояния
υ
= 1
/
3 arccos[4
e
ij
e
jα
e
αi
/
(3
e
3
0
)]
,
0
6
υ
6
π/
3;
(5)
S
ij
=
σ
ij
−
σ
0
δ
ij
,
σ
0
= 1
/
3
σ
ii
,
S
0
= 3
/
2
S
ij
S
ij
,
σ
1
>
σ
2
>
σ
3
,
e
ij
=
ε
ij
−
ε
0
δ
ij
,
ε
0
= 1
/
3
ε
ii
,
e
0
= 2
/
3
e
ij
e
ij
;
S
ij
— девиатор напря-
жений,
σ
0
— среднее напряжение,
S
0
— интенсивность напряжений;
e
ij
— девиатор деформаций,
ε
0
— средняя деформация,
e
0
— интенсив-
ность деформаций.
Определяя среднее значение жесткостей и среднее квадратическое
отклонение (с точностью до постоянного множителя) как
G
m
=
G
i
/
3;
(6)
G
d
=
{
8[(
G
1
−
G
2
)
2
+ (
G
2
−
G
3
)
2
+ (
G
3
−
G
1
)
2
]
/
9
}
1
/
2
,
(7)
можно преобразовать уравнения (1) с разделением тензора напряже-
ний на девиатор и шаровой тензор и привести их к следующему виду:
S
ij
= 2
G
m
e
ij
−
G
d
(
e
iα
e
αj
−
1
/
2
e
2
0
δ
ij
)
/e
0
;
(8)
σ
0
=
F
0
+ 2
G
m
ε
0
−
G
d
(1
/
2
−
ε
2
0
/e
2
0
)
e
0
.
(9)
При этом скалярные функции, входящие в (1), принимают выражения
F
1
= 2(
G
m
+
G
d
ε
0
/e
0
)
, F
2
=
G
d
/e
0
.
(10)
Сдвиговые характеристики, введенные соотношениями (3), можно
представить в следующем виде:
G
i
=
G
υ
g
i
,
(11)
82
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
