ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
УДК 519.23
И. В. П а в л о в
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ
ПРОЧНОСТИ ИЗДЕЛИЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ
ИСПЫТАНИЙ ИХ ФРАГМЕНТОВ
Предложена вероятностная модель для расчета и прогноза основ-
ных характеристик прочности, таких как вероятность выдерж-
ки заданной нагрузки, математическое ожидание прочности и др.
Получены приближенные асимптотические выражения для случая
высокой прочности, когда вероятность отказа (разрыва) является
достаточно малой, а также общие условия, при которых имеет
место увеличение (уменьшение) относительной дисперсии (коэф-
фициента вариации) прочности
ξ
L
при увеличении длины образца
L
. Доказана теорема, в которой дается общая многопараметриче-
ская модель статистического распределения прочности, для кото-
рой имеет место увеличение указанной относительной дисперсии.
В рамках этой модели задача сводится к точечному и доверитель-
ному оцениванию показателей прочности как функций вектора не-
известных параметров по результатам статистических испыта-
ний. Получены неравенства, дающие оценки тренда математиче-
ского ожидания прочности
Mξ
L
при увеличении длины образца
L
.
Аналогичные результаты получены для математического ожида-
ния ресурса последовательной системы из
n
элементов при уве-
личении “длины системы” (числа элементов), что, в частности,
позволяет улучшить известные неравенства Барлоу и Прошана для
таких систем. Построена нижняя доверительная граница для на-
дежности (вероятности выдержать заданную нагрузку) образца
длины
L
.
Ключевые слова
:
Прочность, надежность, вероятностная модель, стати-
стические испытания, доверительные границы.
Постановка задачи.
Пусть имеется некоторый протяженный объ-
ект из однородного материала постоянного сечения длины
L
(проволо-
ка, брус, трубопровод и т.п.). Объект подвергается действию нагрузки
U
, в результате чего может наступить отказ объекта (разрыв прово-
локи, прорыв трубопровода в той или иной точке и т.п.). Значение
нагрузки
U
, при которой происходит отказ объекта длины
L
, обозна-
чим
ξ
L
и назовем прочностью данного объекта.
Прочность
ξ
L
чаще всего является случайной величиной (меня-
ется от одного образца длиной
L
к другому). Для аппроксимации
распределения
ξ
L
можно использовать различные законы распреде-
ления, например часто применяемое для этих целей распределение
Вейбулла–Гнеденко [1–3].
66
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
