Доказательство.
Для доказательства теоремы 2 докажем лемму.
Лемма 1.
Пусть имеются две различные функции надежности
P
1
(
t
) =
e
−
Λ
1
(
t
)
, P
2
(
t
) =
e
−
Λ
2
(
t
)
с одинаковым средним
∞
Z
0
P
1
(
t
)
dt
=
∞
Z
0
P
2
(
t
)
dt
(12)
и такие, что их функции ресурса
Λ
1
(
t
)
,
Λ
2
(
t
)
удовлетворяют условию
:
отношение
Λ
0
2
(
t
)
Λ
0
1
(
t
)
(13)
монотонно строго возрастает по
t >
0
. Тогда для любой монотон-
но строго возрастающей положительной функции
g
(
t
)
справедливо
неравенство
∞
Z
0
g
(
t
)
P
1
(
t
)
dt >
∞
Z
0
g
(
t
)
P
2
(
t
)
dt.
Доказательство леммы 1.
В силу условия (12) функции
P
1
(
t
)
,
P
2
(
t
)
, а следовательно, и функции ресурса
Λ
1
(
t
)
,
Λ
2
(
t
)
должны пере-
секаться, по крайней мере, в одной точке
t >
0
(кроме точки
t
= 0
, где
всегда
Λ
1
(0) = Λ
2
(0) = 0)
. Из условия монотонного строгого возра-
стания функции (13) следует, что функция
Λ
2
(
t
)
пересекает функцию
Λ
1
(
t
)
один раз (кроме точки
t
= 0
) снизу вверх в некоторой точке
t >
0
. Тем самым функция
P
2
(
t
)
также пересекает
P
1
(
t
)
один раз
(кроме точки
t
= 0)
сверху вниз в точке
t >
0
. Отсюда с учетом (12)
следуют неравенства:
∞
Z
0
g
(
t
) [
P
1
(
t
)
−
P
2
(
t
)]
dt
=
∞
Z
0
[
g
(
t
)
−
g
(
t
)] [
P
1
(
t
)
−
P
2
(
t
)]
dt
=
=
t
Z
0
[
g
(
t
)
−
g
(
t
)] [
P
1
(
t
)
−
P
2
(
t
)]
dt
+
+
∞
Z
t
[
g
(
t
)
−
g
(
t
)] [
P
1
(
t
)
−
P
2
(
t
)]
dt >
0
.
(14)
Последнее неравенство справедливо, поскольку в двух последних ин-
тегралах подынтегральные выражения всюду (кроме точки
t
)
строго
положительны. Из неравенства (14) следует доказательство леммы 1.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
75
