Отметим, что если
P
1
(
t
)
— экспоненциальное распределение, а
P
2
(
t
)
— распределение с возрастающей функцией интенсивности от-
казов
λ
2
(
t
) = Λ
0
2
(
t
)
, другими словами, функция
Λ
1
(
t
)
— линейная, а
функция
Λ
2
(
t
)
— выпуклая, то в этом частном случае лемма 1 совпа-
дает с аналогичным неравенством, полученным Барлоу и Прошаном
[3, с. 54].
Обратимся к доказательству теоремы 2. Пусть
ξ
V
и
ξ
L
— две слу-
чайные величины, имеющие функции надежности
P
V
(
U
) =
e
−
V
Λ(
U
)
, P
L
(
U
) =
e
−
L
Λ(
U
)
(15)
и математические ожидания
μ
V
=
∞
Z
0
P
V
(
U
)
dU, μ
L
=
∞
Z
0
P
L
(
U
)
dU.
Введем нормированные случайные величины
˜
ξ
V
=
μ
1
μ
V
ξ
V
,
˜
ξ
L
=
μ
1
μ
L
ξ
L
.
(16)
Нетрудно видеть, что математические ожидания этих случайных ве-
личин одинаковы:
M
˜
ξ
V
=
M
˜
ξ
L
=
Mξ
1
=
μ
1
.
В то же время их коэффициенты вариации при указанной нормировке
(16) остаются фиксированными:
K
( ˜
ξ
V
) =
K
(
ξ
V
) =
K
V
,
K
( ˜
ξ
L
) =
K
(
ξ
L
) =
K
L
.
Функции надежности указанных нормированных случайных вели-
чин имеют вид
˜
P
V
(
U
) =
P
n
˜
ξ
V
> U
o
=
P
μ
1
μ
V
∙
ξ
V
> U
=
P
V
μ
V
μ
1
U ,
˜
P
L
(
U
) =
P
n
˜
ξ
L
> U
o
=
P
μ
1
μ
L
∙
ξ
L
> U
=
P
L
μ
L
μ
1
U .
Соответствующие функции ресурса для этих случайных величин с
учетом (15) имеют вид
˜Λ
V
(
U
) =
−
ln ˜
P
V
(
U
) =
V
Λ
μ
V
μ
1
U ,
˜Λ
L
(
U
) =
−
ln ˜
P
L
(
U
) =
L
Λ
μ
L
μ
1
U .
Рассмотрим отношение
76
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
