которая имеет смысл вероятности попадания (за один шаг) из состоя-
ния
z
2
G
U
в область отказа
W
U
. Величину
ε
z
назовем вероятностью
выхода из области безопасности
G
U
процесса в область отказа
W
U
за
один шаг из состояния
z
2
G
U
.
Рассмотрим ситуацию, когда нагрузка
U
еще не слишком велика
(для образца длины
L
)
и процесс
~z
x
в основном находится в области
безопасности (для данной нагрузки)
G
U
и достаточно редко попадает
в область отказа
W
U
, т.е. нарушения или аномальные значения локаль-
ной прочности
~z
x
встречаются достаточно редко. С формальной точки
зрения этой ситуации соответствует случай, когда указанные выше ве-
роятности
ε
z
выхода из области безопасности
G
U
в область отказа
W
U
(за один шаг) малы.
Обозначим через
N
z
(
L
)
— число попаданий процесса
~z
x
в состоя-
ние
z
2
Z
0
на интервале времени (длины)
[0
, L
]
. В силу эргодичности
процесса
~z
x
имеет место сходимость почти наверное при
L
→ ∞
(независимо от начального состояния процесса):
N
z
(
L
)
L
п.н.
−→
λ
z
,
где величина
λ
z
имеет смысл среднего числа попаданий процесса в
состояние
z
за единицу времени (длины)
L
. Величину
λ
z
естественно
назвать интенсивностью попаданий процесса в состояние
z
.
Нетрудно видеть, что интенсивности
λ
z
связаны со стационарным
распределением вероятностей
p
z
,
z
2
Z
0
, процесса
~z
x
как
λ
z
=
p
z
/h
,
где
h
— шаг разбиения оси
L
указанной выше сеткой. Выбирая
h
в
качестве единицы длины, формально можно считать, что величины
λ
z
и
p
z
численно совпадают, хотя и имеют разную размерность.
При фиксированном значении нагрузки
U
введем величину
Λ(
U
) =
X
z
2
G
U
λ
z
∙
ε
z
,
(3)
которую назовем интенсивностью выхода процесса
~z
x
из области бе-
зопасности
G
U
в область отказа
W
U
.
Асимптотические оценки для распределения случайной величины
υ
U
и соответственно для прочности
ξ
L
далее могут быть получены на
основе теоремы из работы [11]:
Теорема 1.
Пусть
ε
z
→
0
,
z
2
G
U
. Тогда
P
{
Λ(
U
)
∙
υ
U
> y
} →
e
−
y
для любого
y >
0
.
Из теоремы 1 с учетом (1) следует приближенное асимптотическое
выражение для распределения прочности
ξ
L
, другими словами, для
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
71
