Выберем некоторую единицу длины
l
, полагая
l
= 1
, и обозначим
P
1
(
U
) =
e
−
Λ(
U
)
.
(8)
Следующие далее теоремы 2 и 3 показывают, при каких условиях
на распределение (8) прочности выполняются те или иные указанные
выше свойства распределения
P
L
(
U
)
при увеличении длины образца
L
. Введем основные характеристики распределения
P
L
(
U
)
:
μ
L
=
Mξ
L
=
∞
Z
0
P
L
(
U
)
dU
;
μ
(2)
L
=
Mξ
2
L
= 2
∞
Z
0
UP
L
(
U
)
dU
;
σ
2
L
=
μ
(2)
L
−
μ
2
L
;
K
L
=
σ
L
μ
L
,
— соответственно первый и второй моменты, дисперсия и коэффици-
ент вариации случайной величины
ξ
L
— прочности образца длины
L
.
Функция
Λ(
U
)
имеет смысл функции ресурса для распределения проч-
ности образца единичной длины (8). Обозначим
λ
(
U
) = Λ
0
(
U
)
“функцию интенсивности отказов” [1, 2] для распределения (8). Далее
будем предполагать, что
λ
(
U
)
непрерывна по
U >
0
.
Теорема 2.
Пусть функция
λ
(
aU
)
λ
(
U
)
(9)
монотонно возрастает по
U >
0
при любом фиксированном
a >
1
.
Тогда коэффициент вариации
K
L
монотонно возрастает по
L
>
1
.
При этом если функция
(9)
строго возрастающая по
U >
0
,
то
коэффициент вариации
K
L
также строго возрастает по
L
>
1
.
Если
,
кроме того
,
функция
λ
(
U
)
непрерывна по
U
>
0
и
λ
(0)
>
0
,
то
μ
L
>
V
L
μ
V
(10)
при
L > V
>
1
и
,
в частности
,
μ
L
>
μ
1
L
.
(11)
При этом, если функция (9) строго возрастающая по
U >
0
,
неравен-
ства
(10)
и
(11)
также строгие.
74
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
