Поясним структуру матрицы
C
2
. Кубическую матрицу размера
n
×
×
n
×
n
можно представить как книгу из
n
страниц, каждой из которых
соответствует квадратная матрица размера
n
×
n
. Умножив вектор-
строку
~B
т
справа на кубическую матрицу
C
2
, получим квадратную
матрицу. Каждая
i
-я строка этой матрицы является результатом умно-
жения
~B
т
на
i
-ю “страницу”,
i
= 1
, n
. Умножив затем квадратную
матрицу
~B
т
C
2
справа на вектор-столбец
~B
, получим столбец
~B
т
C
2
~B
,
i
-й элемент которого имеет вид
P
n
j
=1
P
n
l
=1
c
i
{
jl
}
2
B
j
B
l
.
Свойства системы (1) определяются алгебраическими свойствами
задающих систему числовых матриц-коэффициентов [1]. Матрицы мо-
гут быть вырожденными, состоять только из нулевых элементов или
содержать нулевые строки, что позволяет рассматривать в рамках од-
ной системы как нелинейные, так и линейные дифференциальные и
алгебраические уравнения.
Выделим некоторые важные частные случаи системы (1). Это, пре-
жде всего, система
s
X
k
=1
A
k
∂ ~B
∂x
k
=
~C
0
+
C
1
~B,
(2)
которая определяется в работах самого Ф.И. Федорова и В.Я. Скоро-
богатько (Институт прикладных проблем механики и математики АН
УССР) как универсальная форма линейных дифференциальных урав-
нений [1, 2]. Действительно, при условии равенства числа неизвест-
ных функций и числа уравнений система линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами любого порядка мо-
жет быть приведена к виду (2) при помощи введения в рассмотрение
дополнительных функций.
При
n
= 1
и
s
= 1
система (1) представляет собой дифференци-
альное уравнение Риккати
A
dB
dx
=
c
0
+
c
1
B
+
c
2
B
2
,
n
= 1
, s
= 1
.
Поставив задачу отыскания решений системы (1), которые удовле-
творяют условию
∂ B
j
∂ x
k
= 0
,
j
= 1
, n,
(3)
получим систему квадратичных алгебраических уравнений
0 =
c
{
i
}
0
+
n
X
j
=1
c
{
ij
}
1
B
j
+
n
X
j
=1
n
X
l
=1
c
i
{
jl
}
2
B
j
B
l
, i
= 1
, n,
(4)
относительно неизвестного числового вектора
~B
. В работе [3] реше-
ния системы (1), удовлетворяющие условию (3), выделены в класс эле-
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
