выражениях
X
k
и вынести матрицы
A
k
и
A
i
правым сомножителем.
Свойство (21) означает, что некоммутативные матрицы, задающие си-
стему уравнений (9), коммутируют по сумме с бегущими волнами,
построенными на основе этих матриц.
Отметим, что
∂X
k
∂t
=
A
k
,
∂X
k
∂x
k
=
∂X
k
∂X
k
=
I,
и рассмотрим операцию дифференцирования оператора волнового вза-
имодействия
W
. Из (18) непосредственно следует, что
∂
∂t
W
(
X
1
, . . . , X
k
, . . . , X
p
) =
=
p
X
k
=1
W
(
X
1
, . . . , X
k
−
1
, A
k
, X
k
+1
, . . . , X
p
) =
=
p
p
X
k
=1
A
k
W
(
X
1
, . . . , X
k
−
1
, X
k
+1
, . . . , X
p
)
, p
= 1
, s
−
1
.
(22)
В результате дифференцирования по
t
каждая из волн
X
k
, являющихся
аргументом
W
-скобки, последовательно заменена матрицей, ее обра-
зующей. Для вынесения матрицы
A
k
за знак
W
использовано свойство
коммутативности по сумме (21).
Рассмотрим дифференцирование оператора волнового взаимодей-
ствия
W
по его аргументу. Выполнение этой операции связано с по-
нижением порядка
W
:
∂
∂X
k
W
(
X
α
1
1
, . . . , X
α
k
k
, . . . , X
α
p
p
) =
=
k
α
k
W
(
X
α
1
1
, . . . , X
α
k
−
1
k
, . . . , X
α
p
p
)
,
p
= 1
, s
−
1
.
(23)
Доказательство правила дифференцирования (23) приведено в ходе
доказательства теоремы.
Полученные правила дифференцирования оператора волнового
взаимодействия
W
и перестановочные свойства его аргументов (20)–
(21) используются в ходе доказательства теоремы.
Доказательство теоремы.
Введем обозначение
~P
α
для общего
члена ряда (8):
~P
α
≡
W
(
X
α
1
1
, . . . , X
α
s
−
1
s
−
1
)
∙
~γ
α
,
α
= (
α
1
, . . . , α
s
−
1
)
.
(24)
Волновая
W
-скобка в (24) рассматривается на связанном с систе-
мой (9) множестве
V
s
−
1
(см. (15)), обладающем свойством (19).
Очевидно, что при
k
α
k
= 0
вектор
~P
α
представляет собой числовой
вектор
~P
0
,
~P
0
=
I
∙
~γ
0
, и является свободным членом ряда (8). При этом
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
