Для системы (5) рассмотрим начальное условие по переменному
t
:
~B
(
t, x
)
t
=0
=
~ϕ
(
x
)
, x
= (
x
1
, . . . , x
s
−
1
)
,
~ϕ
т
(
x
)
≡
(
ϕ
1
(
x
)
, . . . , ϕ
n
(
x
))
,
(6)
где вектор-функция
~ϕ
(
x
)
— аналитическая функция всех своих аргу-
ментов в некоторой области
G
0
гиперплоскости
t
= 0
,
содержащей
точку
x
0
,
x
0
= (
x
0
1
, . . . , x
0
s
−
1
)
. Таким образом, задача Коши (5)–(6)
для системы Ф.И. Федорова (1) в случае ее приведения к нормальной
форме (5) удовлетворяет условиям теоремы Коши–Ковалевской, сле-
довательно, задача (5)–(6) имеет единственное аналитическое решение
в некоторой достаточно малой области
G
,
G G
0
, пространства пе-
ременных
(
t, x
1
, . . . , x
s
−
1
)
[5].
При исследовании системы Ф.И. Федорова для сохранения ее ма-
тричной формы В.Я. Скоробогатько предложил метод, названный им
матричным [2]. В частности, решение задачи (5)–(6) в классе функ-
ций
C
∞
представлено им как решение нелинейного интегрального
уравнения
~B
= exp (
At
)
~ϕ
(
x
)
−
t
Z
0
exp
A
(
t
−
s
) (
~C
0
+
C
1
~B
+
~B
т
C
2
~B
)
ds.
(7)
При этом первое слагаемое интегрального уравнения (7) удовлетворя-
ет как линейному дифференциальному уравнению
∂ ~B
∂t
=
A ~B,
которое является частным случаем нелинейного уравнения (5), так и
начальному условию (6) [2].
Рассмотрим задачу Коши (5)–(6) при нулевых матрицах
C
1
,
C
2
и
нулевом векторе
~C
0
. Докажем теорему, из которой следует представле-
ние выражения
exp (
At
)
~ϕ
(
x
)
, являющегося решением задачи, в виде
ряда специального вида.
Теорема 1.
Ряд
~B
(
t, x
) =
∞
X
α,
k
α
k
=0
X
α
1
1
X
α
2
2
∙ ∙ ∙
X
α
s
−
1
s
−
1
∙
~γ
α
, x
= (
x
1
, . . . , x
s
−
1
)
,
(8)
X
k
=
Ix
k
+
tA
k
, α
= (
α
1
, . . . , α
s
−
1
)
,
k
α
k
=
s
−
1
X
k
=1
α
k
,
где
~B
—
n
-мерная вектор-функция
, ~γ
α
— числовой
n
-мерный вектор-
коэффициент
, A
k
,
k
= 1
,
(
s
−
1)
,
— квадратные числовые матрицы
размера
n
×
n, I
— единичная матрица
,
является частным решением
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
