где для вектор-функций
~U
m
и
~V
m
утверждение математической индук-
ции выполнено. Вычислим для построенной вектор-функции
~P
(
α
1
+1
,α
2
)
составляющие системы (27):
A
1
∂ ~P
(
α
1
+1
,α
2
)
∂x
1
=
A
1
~U
m
+
A
1
X
1
∂ ~U
m
∂x
1
+
A
1
X
2
∂ ~V
m
∂x
1
;
A
2
∂ ~P
(
α
1
+1
,α
2
)
∂x
2
=
A
2
X
1
∂ ~U
m
∂x
2
+
A
2
~V
m
+
A
2
X
2
∂ ~V
m
∂x
2
;
∂ ~P
(
α
1
+1
,α
2
)
∂t
=
A
1
~U
m
+
X
1
∂ ~U
m
∂t
+
A
2
~V
m
+
X
2
∂ ~V
m
∂t
.
Воспользуемся в полученных выражениях свойством (20) для пере-
становки матрицы
A
i
и одноименной волны
X
i
и свойством коммута-
тивности по сумме (21) для того, чтобы выразить произведения
A
i
X
j
через
X
j
A
i
(
i
6
=
j
,
i, j
= 1
,
2
). Подставим полученный результат в
систему (27):
∂ ~P
(
α
1
+1
,α
2
)
∂t
−
A
1
∂ ~P
(
α
1
+1
,α
2
)
∂x
1
−
A
2
∂ ~P
(
α
1
+1
,α
2
)
∂x
2
=
=
X
1
"
∂ ~U
m
∂t
−
A
1
∂ ~U
m
∂x
1
−
A
2
∂ ~U
m
∂x
2
#
+
+
X
2
"
∂ ~V
m
∂t
−
A
1
∂ ~V
m
∂x
1
−
A
2
∂ ~V
m
∂x
2
#
+
+
t
(
A
1
A
2
−
A
2
A
1
)
"
∂ ~V
m
∂x
1
−
∂ ~U
m
∂x
2
#
.
(33)
Применив правило дифференцирования (23) к вектор-функциям
~U
m
и
~V
m
, заданным выражениями (31), получим
∂ ~V
m
∂x
1
=
∂ ~U
m
∂x
2
= (
α
1
+
α
2
)
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
−
1
2
)
.
(34)
Тогда из выражения (33) следует утверждение: если вектор-функции
~U
m
и
~V
m
являются решением сиcтемы (27), то вектор-функция
~P
(
α
1
+1
,α
2
)
также является решением сиcтемы (27). Утверждение математической
индукции для случая
(
s
−
1) = 2
доказано.
По построению рассмотренные вектор-функции
~P
(0
,
0)
,
~P
(
α
1
,
0)
,
~P
(0
,α
2
)
и
~P
(
α
1
,α
2
)
исчерпывают все возможные члены ряда (8) при
(
s
−
1) = 2
. Таким образом, для случая
(
s
−
1) = 2
доказано, что ка-
ждый член ряда (8), представляющий собой результат взаимодействия
волн, является решением системы (27). В силу линейности системы и
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
13
