вектор
~P
0
является элементарным решением системы (9), содержащей
произвольное число
(
s
−
1)
пространственных переменных
x
k
.
Пусть
(
s
−
1)
=1. Тогда система (9) содержит одно пространственное
переменное
x
1
и, соответственно, одну матрицу
A
1
:
I
∂ ~B
∂t
=
A
1
∂ ~B
∂x
1
.
(25)
В этом случае отсутствует проблема некоммутативности умноже-
ния матриц. Действие
W
-скобки по одномерному мультииндексу
α
,
α
=
α
1
, на элементах множества
V
1
является, согласно определению,
действием единичного оператора. При этом ряд (8) принимает вид
~B
(
t, x
) =
∞
X
α
1
≥
0
~P
α
1
=
∞
X
α
1
≥
0
W
(
X
α
1
1
)
∙
~γ
α
1
=
∞
X
α
1
≥
0
(
Ix
1
+
tA
1
)
α
1
∙
~γ
α
1
.
(26)
Непосредственная подстановка вектор-функции
~P
α
1
в систему (25) по-
казывает, что каждый отдельный член ряда (26) является решением
этой системы. В силу линейности системы и аналитичности рассма-
триваемых функций ряд (26) и любая его частичная сумма также явля-
ются решением системы (25).
Рассмотрим случай
(
s
−
1) = 2
. Тогда система (9) принимает вид
I
∂ ~B
∂t
=
A
1
∂ ~B
∂x
1
+
A
2
∂ ~B
∂x
2
.
(27)
Для построении решения системы (27) в качестве аргументов
W
-скобки по двумерному мультииндексу используются элементы
множества
V
2
,
V
2
V
1
.
Выделим сначала те члены ряда (8), которые содержат только одно
пространственное переменное:
~P
(
α
1
,
0)
=
W
(
X
α
1
1
)
∙
~γ
(
α
1
,
0)
,
~P
(0
,α
2
)
=
W
(
X
α
2
2
)
∙
~γ
(0
,α
2
)
,
α
1
, α
2
>
0
.
Проверка того, что векторы
~P
(
α
1
,
0)
и
~P
(0
,α
2
)
, зависящие от одного про-
странственного переменного, являются решением (27), совпадает с
соответствующей проверкой при
(
s
−
1) = 1
для элементов множе-
ства
V
1
.
Рассмотрим теперь те члены ряда (8), которые содержат оба про-
странственных переменных. Тогда (24) принимает вид
~P
α
≡
~P
(
α
1
,α
2
)
=
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
2
)
∙
~γ
(
α
1
,α
2
)
,
α
i
6
= 0
, i
= 1
,
2
,
(28)
где действие оператора
W
-скобка по двумерному мультииндексу не
является тривиальным.
Методом математической индукции докажем, что вектор
~P
α
с лю-
быми ненулевыми значениями компонент двумерного мультииндек-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
11
