Построенный алгоритм (13)–(14) может быть рассмотрен как опреде-
ление оператора (операторной скобки) на элементах счетного множе-
ства, для которых введены операции умножения и сложения.
Поставим в соответствие системе линейных уравнений в частных
производных 1-го порядка (9) множество
V
s
−
1
, элементами которого
являются матрицы
A
k
, задающие эту систему, и построенные на их
основе бегущие волны
X
k
:
A
k
2
V
s
−
1
, X
k
2
V
s
−
1
, X
k
=
Ix
k
+
tA
k
,
k
= 1
, s
−
1
.
(15)
Введем на элементах множества
V
s
−
1
действие оператора
W
по
мультииндексу
α
,
α
= (
α
1
, . . . , α
p
)
, размерности
(
s
−
1)
:
W
(
X
k
)=
X
k
,
k
= 1
, p, p
= 1
, s
−
1;
(16)
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
2
, . . . , X
α
p
p
)=
p
X
k
=1
X
k
W
(
X
α
1
1
, . . . , X
α
k
−
1
k
, . . . , X
α
p
p
);
(17)
W
(
X
1
, X
2
, . . . , X
p
) =
p
X
k
=1
X
k
W
(
X
1
, . . . , X
k
−
1
, X
k
+1
, . . . , X
p
)
.
(18)
Сотношения (16)–(18) определяют некоторый закон взаимодействия
бегущих волн. Назовем введенный оператор
W
оператором (оператор-
ной скобкой) волнового взаимодействия или волновой
W
-скобкой по
мультииндексу
α
размерности
p
. Длину мультииндекса
α
назовем по-
рядком волнового взаимодействия (или порядком
W
-скобки). Cоотно-
шение (17) позволяет понижать порядок оператора, соотношение (18)
связывает операторы разной размерности. При этом для множеств
V
p
,
p
= 1
, s
−
1
, на которых рассматривается волновая
W
-скобка по муль-
тииндексу
α
размерности
p
, имеет место соотношение
V
1
V
2
∙ ∙ ∙
V
p
∙ ∙ ∙
V
s
−
1
.
(19)
Таким образом, в теореме утверждается, что решение линейной
системы уравнений в частных производных 1-го порядка (9) предста-
вляет собой разложение в ряд по функциям, являющимся результатом
взаимодействия волн. Члены ряда сгруппированы по порядку волно-
вого взаимодействия.
Для аргументов скобки волнового взаимодейстия
W
имеют место
следующие перестановочные свойства:
A
k
(
X
k
)
α
k
= (
X
k
)
α
k
A
k
;
(20)
A
k
X
i
+
A
i
X
k
=
X
i
A
k
+
X
k
A
i
,
k
6
=
i, k, i
= 1
, s
−
1
.
(21)
Свойство (20) является очевидным, поскольку матрица
A
k
— пере-
становочная с
(
A
k
)
p
, единичной матрицей
I
и скалярными сомножи-
телями
t
,
x
k
. Для проверки свойства (21) нужно раскрыть скобки в
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
9
