ментарных решений. Система дифференциальных уравнений в част-
ных производных 1-го порядка с квадратичной нелинейностью может
иметь конечное или бесконечной число действительных элементарных
решений либо не иметь таких решений вовсе.
Система (1) допускает случай, когда все матрицы
A
k
,
k
= 1
, s
,
задающие левую (дифференциальную) часть, являются нулевыми (со-
держат только нулевые элементы). Тогда система (1) является алге-
браической системой 2-го порядка (4) и имеет только элементарные
решения.
К виду (1) можно привести любую систему дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами, нелинейные члены ко-
торой представляют собой произведение неизвестных функций и их
производных. Этому требованию удовлетворяют многие уравнения
математической физики. Система (1) получила название системы
Ф.И. Федорова (доказавшего фундаментальное значение этой системы
в теоретической физике) или системы универсальных нелинейных
уравнений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных про-
изводных
1
-го порядка с квадратичной нелинейностью (1) в качестве
математического объекта. В настоящее время не существует общих
методов решения этой системы. Для исследования системы (1) и свя-
занных с ней задач предлагается использовать ряды специального
вида.
Задача Коши для системы (1).
Предположим, что хотя бы одна
из матриц-коэффициентов
A
k
,
k
= 1
, s
, задающих левую часть систе-
мы (1), является обратимой. Пусть
det
A
k
6
= 0
при
k
=
s.
Введем обозначение
x
s
=
t
для независимого переменного
x
s
, связан-
ного с выделенной матрицей
A
s
. Умножим систему (1) слева на
−
A
−
1
s
и, вернувшись после выполнения этой операции к прежним обозначе-
ниям, получим систему уравнений
I
∂ ~B
∂t
=
A ~B
+
~C
0
+
C
1
~B
+
~B
т
C
2
~B, A
=
s
−
1
X
k
=1
A
k
∂
∂x
k
,
(5)
где
I
— единичная матрица размера
n
×
n
,
A
— линейный дифферен-
циалный оператор. Будем рассматривать
t
как временн´ое переменное,
а
x
k
,
k
= 1
,
(
s
−
1)
, как пространственные переменные. Система (5)
представляет собой систему нелинейных нестационарных уравнений в
матричной форме и является важным частным случаем системы (1) [2].
Вместе с тем запись (5) представляет собой нормальную форму
системы дифференциальных уравнений в частных производных, или
систему Ковалевской [4].
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
5
