са
α
является решением системы (27). В качестве параметра индук-
ции выберем порядок волнового взаимодействия
k
α
k
, соответствую-
щего вектору
~P
(
α
1
,α
2
)
. Выполним первый шаг математической индук-
ции для
k
α
k
= 2
, т.е. для случая, когда в (28) порядок оператора
W
равен его размерности:
k
α
k
= 2
,
~P
(1
,
1)
=
W
(
X
1
, X
2
)
∙
~γ
(1
,
1)
.
Вычислив производные вектор-функции
~P
(1
,
1)
по правилам (22) и (23):
∂ ~P
(1
,
1)
∂t
= 2
A
1
X
2
~γ
(1
,
1)
+ 2
A
2
X
1
~γ
(1
,
1)
,
∂ ~P
(1
,
1)
∂x
1
= 2
X
2
~γ
(1
,
1)
,
∂ ~P
(1
,
1)
∂x
2
= 2
X
1
~γ
(1
,
1)
,
убеждаемся, что
~P
(1
,
1)
является решением системы (27).
Пусть утверждение математической индукции верно, когда пара-
метр индукции
k
α
k
равен
m
, где
m >
2
. Это означает, что вектор-
функция, имеющая вид (28), где
α
1
+
α
2
=
m
, также является ре-
шением системы (27). Шаг индукции от
m
к
(
m
+ 1)
соответствует
переходу к оператору волнового взаимодействия большего порядка и
осуществляется увеличением на единицу степени
α
k
,
k
= 1
,
2
, одного
из двух его аргументов. Пусть это аргумент
X
1
:
~P
(
α
1
+1
,α
2
)
=
W
(
X
α
1
+1
1
, X
α
2
2
)
∙
~γ
(
α
1
+1
,α
2
)
,
k
α
k
= (
α
1
+ 1) +
α
2
=
m
+ 1
.
(29)
Покажем, что из утверждения “вектор-функция
~P
(
α
1
,α
2
)
является реше-
нием сиcтемы (27)” следует утверждение “вектор-функция
~P
(
α
1
+1
,α
2
)
является решением сиcтемы (27)”.
В соответствии с введенным определением рассмотрим результат
действия
W
-скобки порядка
(
m
+1)
по двумерному мультииндексу как
сумму двух слагаемых, содержащих
W
-скобки порядка
m
по мульти-
индексу такой же размерности:
~P
(
α
1
+1
,α
2
)
=
X
1
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
2
)
∙
~γ
(
α
1
+1
,α
2
)
+
+
X
2
W
(
X
α
1
+1
1
, X
α
2
−
1
2
)
∙
~γ
(
α
1
+1
,α
2
)
.
(30)
Введем обозначение
~U
m
≡
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
2
)
∙
~γ
(
α
1
+1
,α
2
)
, ~V
m
≡
W
(
X
α
1
+1
1
, X
α
2
−
1
2
)
∙
~γ
(
α
1
+1
,α
2
)
.
(31)
Следовательно, вектор (29) имеет вид
~P
(
α
1
+1
,α
2
)
=
X
1
~U
m
+
X
2
~V
m
,
(32)
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
