аналитичности рассматриваемых функций ряд
~B
=
∞
X
k
α
k≥
0
~P
(
α
1
,α
2
)
=
∞
X
k
α
k≥
0
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
2
)
∙
~γ
α
(35)
и любая его частичная сумма также являются решением системы (27).
Утверждение теоремы для
(
s
−
1) = 2
доказано.
Доказательство утверждения теоремы для системы (9), содержа-
щей произвольное фиксированное число
(
s
−
1)
,
(
s
−
1)
≥
3
, про-
странственных переменных, проводится аналогично. Убедимся, что
каждый член ряда (8), имеющий вид (24), является решением си-
стемы (9). Пусть в (24) мультииндекс
α
размерности
(
s
−
1)
таков,
что содержит
p
ненулевых компонент. Перенумеруем ненулевые ком-
поненты мультииндекса в порядке их следования при произвольном
положении
(
s
−
1
−
p
)
нулевых компонент:
α
= (0
, . . . , α
1
,
0
, . . . ,
0
, α
2
,
0
, . . . ,
0
, α
p
,
0
, . . . ,
0)
,
p
≤
(
s
−
1)
.
Тогда вектор (24) принимает вид
~P
α
=
W
(
X
α
1
1
, . . . , X
α
p
p
)
∙
~γ
α
,
p
= 1
, s
−
1
.
(36)
Пусть
p <
(
s
−
1)
, т.е. число ненулевых компонент мультииндекса
меньше размерности соответствующего этому мультииндексу операто-
ра волнового взаимодействия
W
. Тогда проверка того, что вектор (36)
является решением системы (9), повторяет рассуждение, проведенное
для вектора, построенного при помощи
W
-скобки по мультииндексу
меньшей размерности.
Рассмотрим, например, для системы (9), содержащей три простран-
ственные переменные, член ряда (8), соответствующий мультииндексу
(
α
1
, α
2
,
0)
. Это означает, что
p
= 2
, а волна
(
Ix
3
+
tA
3
)
не входит в
число аргументов
W
-скобки по трехмерному мультииндексу. Тогда
производные вектора (36) по
x
3
обращаются в нуль и случай сводит-
ся к рассмотренным ранее случаям действия
W
-скобки на элементах
множеств
V
2
и
V
1
и соответствующих им систем (25) и (27).
Пусть
p
= (
s
−
1)
, т.е. при построении вектора (36) используют-
ся волны
X
k
, содержащие все пространственные переменные систе-
мы (9). Доказательство, как и в случае
(
s
−
1) = 2
, проведем мето-
дом математической индукции с параметром индукции, равным по-
рядку волнового взаимодействия. Первый шаг индукции выполним
при
k
α
k
=
p
(все компоненты мультииндекса
α
равны единице), при-
менив к вектор-функции (36) правила дифференцирования (22) и (23).
Пусть
~P
α
является решением системы (9) при
k
α
k
=
m
,
m > p
. Пусть
далее (как и в (29)) шаг индукции от
m
к
(
m
+ 1)
осуществляется
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
