системы уравнений в частных производных 1-го порядка
I
∂ ~B
∂t
=
s
−
1
X
k
=1
A
k
∂ ~B
∂x
k
.
(9)
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, дадим пояснения,
относящиеся к построению ряда (8). Суммирование в (8) проводится
по мультииндексу
α
размерности
(
s
−
1)
. Напомним, что мультиин-
декс представляет собой числовой вектор заданной размерности, ком-
поненты которого принимают значения из множества
N
0
. Сумма этих
значений называется длиной мультииндекса
α
и обозначается
k
α
k
.
Выпишем, например, все двумерные мультииндексы
α
,
α
= (
α
1
, α
2
)
,
длина которых равна трем:
(3
,
0)
,
(2
,
1)
,
(1
,
2)
,
(0
,
3)
.
Рассмотрим отдельные сомножители
X
k
,
X
k
=
Ix
k
+
tA
k
, за-
ключенные в фигурные скобки выражения (8). В скалярном случае
(
n
= 1
,
A
k
— числовые коэффициенты) верно утверждение: глад-
кая функция
B
(
t, x
)
удовлетворяет уравнению в частных производных
1
-го порядка вида (9) тогда и только тогда, когда функция
B
(
t, x
)
явля-
ется первым интегралом системы обыкновенных дифференциальных
уравнений
d x
k
d t
=
−
A
k
,
k
= 1
, s
−
1
.
(10)
Выражения
X
k
=
Ix
k
+
tA
k
,
k
= 1
,
(
s
−
1)
,
(11)
представляют собой
(
s
−
1)
независимых первых интегралов систе-
мы (10) и являются решениями линейного однородного уравнения (9),
имеющими форму плоской бегущей волны [4].
Запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений (10)
в симметричной форме, предположив, что (9) является системой (
n
≥
2
),
задаваемой матрицами
A
k
:
I dx
1
A
1
=
I dx
2
A
2
=
∙ ∙ ∙
=
I dx
s
−
1
A
s
−
1
=
−
I dt.
(12)
По аналогии со скалярным случаем рассмотрим выражения (11) для
линейной однородной системы уравнений в частных производных
1
-го порядка (9) (
n
≥
2
) и связанной с ней системы обыкновенных
дифференциальных уравнений c матричными коэффициентами (12).
Очевидно, что при формальной замене скалярных коэффициентов на
матричные использование бегущих волн (11) для изучения решения
системы (9) связано с проблемой некоммутативности умножения мат-
риц.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
7
