В качестве возможного подхода к данной проблеме В.Я. Скоробо-
гатько в рамках матричного метода ввел операцию симметризации [2].
В записи (8) при формулировке доказываемой теоремы эта операция
обозначена фигурными скобками и означает, что следует взять сум-
му всех возможных существенных произведений, построенных из за-
ключенных в скобки сомножителей. Пусть, например,
α
является дву-
мерным мультииндексом длины
3
с компонентами
α
1
= 2
и
α
2
= 1
.
Тогда из двух сомножителей
X
2
1
и
X
2
, стоящих в фигурных скобках
соответствующего члена ряда (8), можно составить три различных
произведения:
X
2
1
X
2
= (
X
1
)
2
X
2
+
X
1
X
2
X
1
+
X
2
(
X
1
)
2
.
Таким образом, ряд (8) представляет собой разложение искомой
вектор-функции
~B
(
t, x
)
по соответствующим мультииндексу
α
,
α
= (
α
1
, . . . , α
s
−
1
)
, степеням
X
α
k
k
,
k
= 1
, s
−
1
, выражений вида (11),
к результату некоммутативного умножения которых при каждом
α
применена операция симметризации.
Описательное определение операции симметризации, данное в ра-
боте [2], неудобно при проведении преобразований. Построим алго-
ритм применения этой операции к произведению
p
сомножителей,
которые имеют вид
X
α
k
k
. Представим результат симметризации как
сумму
p
слагаемых, в каждое из которых сгруппированы члены, име-
ющие первым левым сомножителем элемент
X
k
,
k
= 1
, p
. При этом
порядок следования остальных сомножителей
X
j
,
j
6
=
k
, является про-
извольным, что соответствует определению операции симметризации.
Тогда, вынося
X
k
,
k
= 1
, p
, за скобки, получаем
X
α
1
1
X
α
2
2
∙ ∙ ∙
X
α
p
p
=
p
X
k
=1
X
k
∙
X
α
1
1
∙ ∙ ∙
X
α
k
−
1
k
∙ ∙ ∙
X
α
p
p
, α
k
≥
1
.
(13)
Применим алгоритм (13) для понижения порядка заключенных в фи-
гурные скобки сомножителей. На некотором шаге под знаком опера-
ции симметризации получим произведение
m
сомножителей первой
степени, где
m
≤
p
. Следуя алгоритму далее, будем последовательно
уменьшать число сомножителей в фигурных скобках до полного их
раскрытия:
{
X
1
X
2
∙ ∙ ∙
X
m
}
=
=
m
X
k
1
=1
X
k
1
n
m
Y
k
2 =1
k
2
6
=
k
1
X
k
2
o
=
m
X
k
1
=1
X
k
1
m
X
k
2 =1
k
2
6
=
k
1
X
k
2
n
m
Y
k
3 =1
k
3
6
=
k
2
6
=
k
1
X
k
3
o
=
=
∙ ∙ ∙
=
m
X
k
1
=1
X
k
1
m
X
k
2 =1
k
2
6
=
k
1
X
k
2
∙ ∙ ∙
m
X
k m
−
1 =1
k m
−
1
6
=
k m
−
2
6
=
∙∙∙6
=
k
1
X
k
m
−
1
∙
X
k
m
.
(14)
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
