МАТЕМАТИКА
УДК 517.925.42
А. Н. К а н а т н и к о в
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
В ЗАДАЧЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ ИНВАРИАНТНЫХ
КОМПАКТОВ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрено применение метода локализации инвариантных ком-
пактных множеств автономной динамической системы для иссле-
дования динамических систем высокой размерности. Предложены
методы компьютерной алгебры для решения типовых задач лока-
лизации: вычисления производной в силу системы, анализа степени
полиномиальной функции, исследования квадратичной функции на
положительную определенность и т.п. Эти методы использованы
для исследования пятимерной системы Лоренца. Получено семей-
ство локализирующих множеств эллиптического типа.
В поведении динамической системы важную роль играют инвари-
антные компактные множества, среди которых — точки покоя, циклы,
инвариантные торы, аттракторы. Выявлению инвариантных компакт-
ных множеств, в первую очередь аттракторов, посвящено большое
число работ (например, [1–3]).
Один из методов оценки положения инвариантных компактных
множеств предложен А.П. Крищенко [4, 5]. Этот метод среди дру-
гих выделяется тем, что практически не использует геометрических
соображений и сводится к алгебраическим вычислениям. Суть его в
следующем.
Для автономной динамической системы
˙
x
=
f
(
x
)
выбирается
какая-либо гладкая функция
ϕ
(локализирующая функция), определен-
ная на фазовом пространстве
M
динамической системы, вычисляется
ее производная
L
f
ϕ
в силу системы (производная Ли по векторному
полю, соответствующему динамической системе) и строится множе-
ство
S
ϕ
=
{
x
2
M
:
L
f
ϕ
(
x
) = 0
}
(универсальное сечение).
Пусть
ϕ
inf
и
ϕ
sup
— точная нижняя и точная верхняя грани функции
ϕ
на множестве
S
ϕ
. Тогда все инвариантные компакты динамической
системы содержатся в множестве
Ω
ϕ
=
{
x
2
M
:
ϕ
inf
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
sup
}
.
Основная проблема в использовании метода А.П. Крищенко со-
стоит в выборе локализирующих функций. Трудно добиться хорошего
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
3
