У целевой функции очевидна точка минимума
X
1
=
X
2
=
Y
1
=
=
Y
2
=
Z
= 0
; этот минимум — глобальный. Полагая, что максималь-
ное значение целевой функции при заданной связи есть
M
=
M
(
b
1
, b
2
, q
)
,
получим локализирующее множество
Ω(
b
1
, b
2
, q
)
, описываемое нера-
венством
(
x
1
+
b
1
)
2
+ (
x
2
+
b
2
)
2
+
q
(
y
2
1
+
y
2
2
) +
q z
−
σ
q
−
ρ
2
≤
M
(
b
1
, b
2
, q
)
и представляющее собой множество, ограниченное четырехмерным
эллипсоидом. Так как пересечение локализирующих множеств также
является локализирующим множеством, можно перейти к пересече-
нию трехпараметрического семейства:
Ω =
\
b
1
,b
2
,q
Ω(
b
1
, b
2
, q
)
, b
1
, b
2
2
(
−∞
,
∞
)
, q
2
(0
,
∞
)
.
Остановимся на частном случае
b
1
=
b
2
= 0
. Тогда имеем задачу
X
2
1
+
X
2
2
+
Y
2
1
+
Y
2
2
+
Z
2
→
extr;
σX
2
1
+
σX
2
2
+
Y
2
1
+
Y
2
2
+
β Z
+
σ
+
qρ
2
√
q
2
=
R
2
.
В этой задаче заменой переменных
U
2
=
X
2
1
+
X
2
2
,
V
2
=
Y
2
1
+
Y
2
2
переходим к трехмерной задаче
U
2
+
V
2
+
Z
2
→
extr;
σU
2
+
V
2
+
β Z
+
σ
+
qρ
2
√
q
2
=
R
2
.
Полагаем
d
=
σ
+
qρ
2
√
q
, отмечая при этом, что
d
≥ √
σρ
. Свободный
параметр
q
мы можем заменить новым параметром
d
. Кроме того,
учтем, что согласно (4)
R
2
=
βd
2
(поскольку
b
1
=
b
2
= 0
). Получаем
задачу на условный экстремум:
F
=
U
2
+
V
2
+
Z
2
→
extr;
σU
2
+
V
2
+
β
(
Z
+
d
)
2
=
βd
2
.
(5)
Задачу (5) можно решать методом Лагранжа. Составив функцию
Лагранжа
L
(
U, V, Z
;
λ
) =
U
2
+
V
2
+
Z
2
+
λ
(
σU
2
+
V
2
+
β
(
Z
+
d
)
2
−
βd
2
)
и записывая необходимые условия экстремума, получаем систему
уравнений
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
9
