K
βσ
ρ
2
−
y
2
1
−
y
2
2
−
(
z
−
ρ
)
2
q
2
+
+ 2
K
βσ
σρ
−
x
2
1
−
x
2
2
+ 2
σ
(
z
−
ρ
)
q
+ (
K
βσ
−
1)
σ
2
≥
0
.
Здесь
A
=
K
βσ
ρ
2
−
y
2
1
−
y
2
2
−
(
z
−
ρ
)
2
;
B
= 2
K
βσ
σρ
−
x
2
1
−
x
2
2
+ 2
σ
(
z
−
ρ
);
C
= (
K
βσ
−
1)
σ
2
.
Для того чтобы неравенство
Aq
2
+
Bq
+
C
≥
0
выполнялось для
любого значения
q >
0
, необходимо и достаточно, чтобы коэффициен-
ты
A
,
B
,
C
удовлетворяли неравенствам
A
≥
0
,
C
≥
0
,
B
≥ − √
4
AC
.
Видно, что неравенство
C
≥
0
,
K
βσ
≥
1
выполняется всегда. В ре-
зультате получаем систему неравенств
y
2
1
+
y
2
2
+ (
z
−
ρ
)
2
≤
K
βσ
ρ
2
;
x
2
1
+
x
2
2
≤
2
σz
+ 2
C
βσ
σρ
+ 2
σ
q
C
βσ
K
βσ
ρ
2
−
y
2
1
−
y
2
2
−
(
z
−
ρ
)
2
,
где
C
βσ
=
K
βσ
−
1
.
Исследование системы в цилиндрическом случае.
В общем ви-
де (3) локализирующей функции положим
q
= 0
,
k
= 1
. Получим:
ϕ
=
x
2
1
+
x
2
2
+ 2
b
1
x
1
+ 2
b
2
x
2
−
2
σz.
(7)
При этом
−
1
2
D
ϕ
=
σ
(
x
2
1
+
x
2
2
) +
σ
(
b
1
x
1
+
b
2
x
2
)
−
σb
1
y
1
+
σb
2
y
2
−
βσz.
Получаем задачу
x
2
1
+
x
2
2
+ 2
b
1
x
1
+ 2
b
2
x
2
−
2
σz
→
extr
;
x
2
1
+
x
2
2
+
b
1
x
1
+
b
2
x
2
−
b
1
y
1
+
b
2
y
2
−
βz
= 0
.
Из уравнения связи выражаем
z
и подставляем в целевую функцию:
x
2
1
+
x
2
2
+2
b
1
x
1
+2
b
2
x
2
−
2
σ
β
x
2
1
+
x
2
2
+
b
1
x
1
+
b
2
x
2
−
b
1
y
1
+
b
2
y
2
→
extr;
Переменные
x
1
,
x
2
,
y
1
,
y
2
могут варьироваться свободно, поскольку
условие связи может быть обеспечено соответствующим выбором
z
.
Для
b
1
=
b
2
= 0
получаем
ϕ
inf
= 0
и
ϕ
sup
= +
∞
при
β >
2
σ
и
ϕ
sup
= 0
и
ϕ
inf
=
−∞
при
β <
2
σ
. Это приводит к локализирующему
множеству
Ω
2
, которое описывается неравенством
x
2
1
+
x
2
2
≥
2
σz
при
β >
2
σ
и неравенством
x
2
1
+
x
2
2
≤
2
σz
при
β <
2
σ
. Особо выделим слу-
чай
β
= 2
σ
, когда все инвариантные компакты лежат на поверхности
x
2
1
+
x
2
2
= 2
σz
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
11
