Лоренца. В системе (1) все три параметра предполагаются положи-
тельными.
Система (1) содержит решения трехмерной системы Лоренца, на-
пример в виде
(
x
1
(
t
); 0;
y
1
(
t
); 0;
z
(
t
))
T
. Поэтому в ней имеется хаоти-
ческое поведение. Кроме того, система (1) — полиномиальная, причем
степени правых частей не превышают 2. Рассмотрим несколько во-
просов:
1. При каких условиях квадратичная функция
ϕ
имеет производ-
ную
D
ϕ
в силу системы, которая тоже является квадратичной функ-
цией?
2. При каких условиях производная
D
ϕ
не только является квадра-
тичной, но и имеет квадратичную форму канонического вида?
3. Каковы условия, при которых производная
D
ϕ
имеет положи-
тельно определенную квадратичную форму?
Ответы на эти вопросы позволят выделить одно или несколько
семейств функций
ϕ
q
, для которых можно построить локализирующее
множество. Далее речь пойдет об исследовании конкретных семейств.
Производная квадратичной функции как квадратичная функция.
Рассмотрим квадратичную функцию общего вида :
ϕ
(
x
) =
x
T
Ax
+ 2
Bx,
где
A
— симметричная матрица 5-го порядка;
B
— матрица-строка,
содержащая коэффициенты линейной формы.
Поскольку правые части системы дифференциальных уравнений
(1) являются квадратичными функциями, производная
D
ϕ
в силу си-
стемы представляет собой в общем случае многочлен 3-й степени.
Используя функцию GetCubeConds, получим систему уравнений на
коэффициенты функции
ϕ
, при выполнении которых функция
D
ϕ
бу-
дет квадратичной:
a
15
= 0
, a
13
= 0
, a
25
= 0
, a
14
=
a
23
, a
35
= 0
,
a
45
= 0
, a
33
=
a
55
, a
34
= 0
, a
24
= 0
, a
44
=
a
55
.
Из этих соотношений вытекает, что функция
D
ϕ
будет квадратичной
тогда и только тогда, когда матрица
A
имеет вид
a
11
a
12
0
p
0
a
12
a
22
p
0 0
0
p q
0 0
p
0 0
q
0
0 0 0 0
q
.
(2)
Как видим, условие квадратичности производной оставляет свободны-
ми всего 6 параметров (вместо
15
исходных). Сюда нужно добавить
Свободный член в данном случае можно опустить.
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
