Если один из параметров
b
1
,
b
2
отличен от нуля, целевая функция
линейно зависит от
y
1
и/или
y
2
. Следовательно,
ϕ
inf
=
−∞
,
ϕ
sup
=
∞
.
Содержательного локализирующего множества в этом случае нет.
В общем виде (3) локализирующей функции положим
q
= 1
,
k
= 0
.
Получим
ϕ
=
y
2
1
+
y
2
2
+
z
2
+ 2
b
1
x
1
+ 2
b
2
x
2
−
2
ρz.
(8)
При этом
−
1
2
D
ϕ
=
σ
(
b
1
x
1
+
b
2
x
2
) +
y
2
1
+
y
2
2
−
σb
1
y
1
+
σb
2
y
2
+
βz
2
−
βρz.
Приходим к задаче
y
2
1
+
y
2
2
+
z
2
+ 2
b
1
x
1
+ 2
b
2
x
2
−
2
ρz
→
extr
;
σ
(
b
1
x
1
+
b
2
x
2
) +
y
2
1
+
y
2
2
−
σb
1
y
1
+
σb
2
y
2
+
βz
2
−
βρz
= 0
.
(9)
Рассмотрим два случая. При
b
1
=
b
2
= 0
задача (9) сводится к
следующей:
(
y
2
1
+
y
2
2
+
z
2
−
2
ρz
→
extr
;
y
2
1
+
y
2
2
+
βz
2
−
βρz
= 0
.
Из уравнения связи этой задачи находим
y
2
1
+
y
2
2
и подставляем в
целевую функцию:
ψ
= (1
−
β
)
z
2
+
ρ
(
β
−
2)
z.
Задача состоит в поиске наибольшего и наименьшего значения ква-
дратного трехчлена
ψ
при условии, что
ρz
−
z
2
≥
0
. Это условие
означает, что
0
≤
z
≤
ρ
. Экстремальные значения могут достигаться
на концах отрезка
0
и
ρ
, а также в точке
z
=
ρ
(
β
−
2)
2(
β
−
1)
локального экс-
тремума, если она попадает в отрезок
[0
, ρ
]
, т.е. при
β
≥
2
. Отметим,
что
ϕ
≥ −
ρ
2
, так что значение
−
ρ
2
является глобальным минимумом.
В результате получаем локализирующее множество
Ω
3
, описываемое
неравенством
y
2
1
+
y
2
2
+ (
z
−
ρ
)
2
≤
ρ
2
K
β
1
,
где
K
β
1
— коэффициент, вычисляемый согласно соотношению (6) при
σ
= 1
.
Во втором случае, при
b
2
1
+
b
2
2
6
= 0
из уравнения связи выражаем
b
1
x
1
+
b
2
x
2
и подставляем в целевую функцию. Приходим к экстре-
мальной задаче без ограничений на переменные:
ψ
=
y
2
1
+
y
2
2
+
z
2
+
2
σ
−
y
2
1
−
y
2
2
+
σb
1
y
1
−
σb
2
y
2
−
βz
2
+
βρz
−
2
ρz
→
extr
.
Преобразуем целевую функцию:
ψ
= 1
−
2
σ
(
y
2
1
+
y
2
2
) + 1
−
2
β
σ
z
2
+ 2
b
1
y
1
−
2
b
2
y
2
+ 2
ρ
β
σ
−
1
z.
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
