результата, используя только одну функцию. Желательно выбирать не-
которое семейство функций. Кроме того, все вычисления в этом методе
носят аналитический характер. При неудачном выборе локализирую-
щей функции
ϕ
задача нахождения точной верхней и точной ниж-
ней граней этой функции на универсальном сечении может не иметь
аналитического решения. Эти трудности ограничивают возможности
метода.
Но даже если экстремальная задача и имеет аналитическое реше-
ние, поиск этого решения затрудняется в случае динамических систем
высокой (больше 3) размерности.
Исследование некоторых общеизвестных динамических систем —
системы Лоренца, системы Ланфорда, ПРТ-системы — выявило не-
которые типовые приемы выбора локализирующих функций и их ис-
следования. Эти приемы можно реализовать с помощью компьютера,
привлекая ту или иную систему компьютерной алгебры. В результа-
те можно решать задачи, которые в принципе имеют аналитическое
решение, но это решение технически трудно реализуемо.
В данной работе описываются некоторые приемы исследования
полиномиальных систем с помощью системы компьютерной алгебры
Maple. Разработанная библиотека функций была использована для ис-
следования пятимерной системы Лоренца.
Функции Maple для выполнения типовых операций.
Рассма-
триваются динамические системы полиномиального типа, т.е. систе-
мы, описываемые системой дифференциальных уравнений, правые ча-
сти которых представляют собой полиномы от переменных состояния.
Для решения задач локализации инвариантных компактных множеств
динамических систем разработана библиотека из нескольких функ-
ций Maple. Эта библиотека использует некоторые функции пакета
LinearAlgebra и базируется на стандартных типах данных Vector и
Matrix.
Для вычисления производной заданной функции в силу систе-
мы (производной Ли в силу системы) используется функция DiffLee.
Ей передаются: вектор правых частей динамической системы; функ-
ция, для которой вычисляется производная в силу системы; вектор
переменных заданной функции (необязательный параметр). Функция
DiffLee возвращает вычисленную производную.
Для формирования квадратичной локализирующей функции пред-
назначена функция GetLocFun. Ей передается число переменных (раз-
мерность динамической системы), она возвращает алгебраическое вы-
ражение, в котором переменными являются координаты вектора
x
.
Можно также использовать функцию GetLocFun в специальном режи-
ме, передавая ей матрицу квадратичной формы и вектор коэффициен-
тов линейной формы.
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
